每日一题[1990]拼拼看

在四边形 $ABCD$ 中,$BC\parallel AD$,$CA$ 平分 $\angle BCD$,$O$ 为对角线的交点,$CD=AO$,$BC=OD$,则 $\angle ABC=$ _______.

答案    $126^\circ$.

解析    设 $\angle OCD=\alpha$,$\angle ADO=\beta$,因为 $CA$ 平分 $\angle BCD$,所以 $\angle OCD=\angle OCB=\alpha$,因为 $BC \parallel AD$ 所以 $\angle ADO=\angle OBC=\beta$,所以 $\angle DAO=\angle OCB=\alpha$,所以 $\angle OCD=\angle DAO=\alpha$,所以 $AD=CD$,因为 $CD=AO$,所以 $AD=AO$,所以\[\angle ADO=\angle AOD=\angle BOC=\angle OBC=\beta,\]所以 $OC=BC$,因为 $BC=OD$,所以 $OC=OD$, 所以 $\angle ODC=\angle OCD=\alpha$,因为\[\begin{cases} \angle BOC=\angle ODC+\angle OCD,\\ \angle BOC+\angle OBC+\angle OCB=180^\circ,\end{cases}\implies \begin{cases} \beta =2 \alpha,\\ \alpha+2\beta=180^\circ,\end{cases}\implies \begin{cases} \alpha=36^\circ,\\ \beta=72^\circ,\end{cases}\]所以 $\angle DBC=\angle BCD=72^\circ$,所以 $BD=CD=AD$,所以\[\angle ABD=\angle BAD=\dfrac{180^\circ-\beta}{2}=54^\circ,\]故\[\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC =126^\circ.\]


备注    $2016$年全国初中数学联赛的第$14$题,原题是$2014$年荷兰奥赛题.

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