设 $n$ 是正整数，$f(x)$ 是 $n$ 次多项式，并且对任意的 $k \in\{0,1, 2,\cdots, n\}$ 都有 $f(k)=\dfrac{n-k}{k+1}$，求 $f(n+1)$．
已知 $0<a<b$，求证：$\dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}>\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}$．
函数 $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x+26}+\sqrt{14-x}$ 的最大值是_______．
如果 $\cos x+\cos y+\cos z=0$，$ \sin x+\sin y=\sin z$，那么 $ \cos ^{2} x+\cos ^{2} y+\cos ^{2} z=$ _______．
已知 $1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt n<C\cdot (n+1)^{\frac 32}$，求证：当 $C=\dfrac 23$ 时，不等式恒成立，且 $C<\dfrac 23$ 时该不等式不恒成立．
已知 $f(x)=x^3+ax^2-x+1-a$，且对任意 $x\in [-1,1]$，$|f(x)|\geqslant |x|$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
已知 $a=2020^{2020}$，$b=\sqrt{2019^{2021}\cdot 2021^{2019}}$，$c=\dfrac 12\left(2019^{2021}+2021^{2019}\right)$，则 $a,b,c$ 的大小顺序是_______（从小到大用 $<$ 连接）．
若 $|5x+6y|+|9x+11y|\leqslant 1$，则点 $(x,y)$ 对应的点集图形的面积 $S=$ _______．
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[\pi]=3$，$[-\pi]=-4$ 等，则\[\left[\dfrac{2^0}3\right]+\left[\dfrac {2^1}{3}\right]+\left[\dfrac{2^2}{3}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2^{2020}}3\right]\]的值是_______．
