每日一题[2069]左右逢源

已知 $1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt n<C\cdot (n+1)^{\frac 32}$,求证:当 $C=\dfrac 23$ 时,不等式恒成立,且 $C<\dfrac 23$ 时该不等式不恒成立.

解析    分析通项,只需要证明\[\sqrt n<\dfrac 23(n+1)^{\frac 32}-\dfrac 23n^{\frac 32}\iff \left(1+\dfrac 1n\right)^{\frac 32}>1+\dfrac{3}{2n},\]这显然成立.因此当 $C=\dfrac 23$ 时,不等式恒成立.

类似的,可以分析通项证明\[\sqrt n>\dfrac 23n^{\frac 32}-\dfrac 32(n-1)^{\frac 32}\iff \left(1-\dfrac 1n\right)^{\frac 32}>1-\dfrac 3{2n},\]因此\[\dfrac{1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt n}{(n+1)^{\frac 32}}>\dfrac{\dfrac 23n^{\frac 32}}{(n+1)^{\frac 32}}=\dfrac23\cdot \left(\dfrac n{n+1}\right)^{\frac32},\]因此当 $C<\dfrac 23$ 时,取\[N=\left[\dfrac{1}{1-\left(\dfrac{3C}{2}\right)^{\frac 23}}\right],\]则当 $n=N$ 时,该不等式不成立.

综上所述,原命题得证.

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