每日一题[2066]平行四边形区域

若 $|5x+6y|+|9x+11y|\leqslant 1$,则点 $(x,y)$ 对应的点集图形的面积 $S=$ _______.

答案    $2$.

解析    题中不等式即\[\begin{cases} |(5x+6y)+(9x+11y)|\leqslant 1,\\ |(5x+6y)-(9x+11y)|\leqslant 1,\end{cases}\iff \begin{cases} |14x+17y|\leqslant 1,\\ |5x-5y|\leqslant 1,\end{cases}\]根据平行四边形的区域面积公式,所求面积\[S=\dfrac{2}{|5\cdot 11-9\cdot 6|}=2.\]

备注    由不等式$|a_1x+b_1y|+|a_2x+b_2y|\leqslant c$($c>0$)确定的平面区域的面积\[S=\dfrac{2c^2}{|a_1b_2-a_2b_1|}.\]

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