每日一题[2067]基本极限

已知 $a=2020^{2020}$,$b=\sqrt{2019^{2021}\cdot 2021^{2019}}$,$c=\dfrac 12\left(2019^{2021}+2021^{2019}\right)$,则 $a,b,c$ 的大小顺序是_______(从小到大用 $<$ 连接).

答案    $b<a<c$.

解析    考虑\[\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{2019^{2021}\cdot 2021^{2019}}{2020^{4040}}<\left(\dfrac{2019\cdot 2021}{2020^2}\right)^{2020}=\left(\dfrac{(2020-1)(2020+1)}{2020^2}\right)^{2020}<1,\]因此 $b<a$.根据均值不等式容易知道 $c>b$,接下来考虑 $c$ 与 $a$ 的大小关系,有\[\dfrac ca=\dfrac 12\cdot \dfrac{2019^{2021}}{2020^{2020}}+\dfrac 12\cdot \dfrac{2021^{2019}}{2020^{2020}},\]考虑到\[\dfrac{2021^{2019}}{2020^{2019}}=\left(1+\dfrac{1}{2020}\right)^{2019}<{\rm e}=2.7\cdots,\]于是关键在前面一部分.考虑到\[\dfrac{2019^{2019}}{2020^{2019}}=\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{2019}\right)^{2019}}>\dfrac1{\rm e},\]于是\[\dfrac 12\cdot \dfrac{2019^{2021}}{2020^{2020}}>\dfrac 12\cdot \dfrac{2019^2}{2020}\cdot \dfrac{1}{{\rm e }}>1,\]从而 $c>a$. 综上所述,有 $b<a<c$.

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