每日一题[2074]根系关系

设 $n$ 是正整数，$f(x)$ 是 $n$ 次多项式，并且对任意的 $k \in\{0,1, 2,\cdots, n\}$ 都有 $f(k)=\dfrac{n-k}{k+1}$，求 $f(n+1)$．

答案    $\dfrac{(-1)^n\cdot n!\cdot (n+1)!-1}{n+2}$．

解析    根据题意，有对任意的 $k \in\{0,1, \cdots, n\}$ 都有\[(k+1)f(k)+k-n=0,\]于是 $x=0,1,2,\cdots,n$ 是关于 $x$ 的方程\[(x+1)f(x)+x-n=0\]的 $n+1$ 个实根，因此\[(x+1)f(x)+x-n=ax(x-1)(x-2)\cdots(x-n),\]令 $x=-1$，有\[-1-n=a\cdot (-1)^{n+1}\cdot (n+1)!\iff a=(-1)^n\cdot n!,\]令 $x=n+1$，有\[(n+2)f(n+1)+1=a\cdot (n+1)!\implies f(n+1)=\dfrac{(-1)^n\cdot n!\cdot (n+1)!-1}{n+2}.\]