每日一题[2074]根系关系

设 $n$ 是正整数,$f(x)$ 是 $n$ 次多项式,并且对任意的 $k \in\{0,1, 2,\cdots, n\}$ 都有 $f(k)=\dfrac{n-k}{k+1}$,求 $f(n+1)$.

答案    $\dfrac{(-1)^n\cdot n!\cdot (n+1)!-1}{n+2}$.

解析    根据题意,有对任意的 $k \in\{0,1, \cdots, n\}$ 都有\[(k+1)f(k)+k-n=0,\]于是 $x=0,1,2,\cdots,n$ 是关于 $x$ 的方程\[(x+1)f(x)+x-n=0\]的 $n+1$ 个实根,因此\[(x+1)f(x)+x-n=ax(x-1)(x-2)\cdots(x-n),\]令 $x=-1$,有\[-1-n=a\cdot (-1)^{n+1}\cdot (n+1)!\iff a=(-1)^n\cdot n!,\]令 $x=n+1$,有\[(n+2)f(n+1)+1=a\cdot (n+1)!\implies f(n+1)=\dfrac{(-1)^n\cdot n!\cdot (n+1)!-1}{n+2}.\]

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每日一题[2074]根系关系》有1条回应

  1. louxin2020说:

    a的值求错了吧

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