每日一题[2070]内外心重合

如果 $\cos x+\cos y+\cos z=0$,$ \sin x+\sin y=\sin z$,那么 $ \cos ^{2} x+\cos ^{2} y+\cos ^{2} z=$ _______.

答案    $\dfrac 32$.

解析    根据题意,有\[\begin{cases} \cos x+\cos y+\cos (-z)=0,\\ \sin x+\sin y+\sin (-z)=0,\end{cases}\]设 $A(\cos x,\sin x)$,$B(\cos y,\sin y)$,$C(\cos (-z),\sin (-z))$,则 $\triangle ABC$ 的外心和重心都是原点 $O(0,0)$,因此 $\triangle ABC$ 为正三角形,不妨设 $(x,y,-z)=\left(\theta,\theta+\dfrac{2\pi}3,\theta+\dfrac{4\pi}3\right)$,所求代数式为 $m$,有\[\begin{split} m&=\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z\\ &=\dfrac{1+\cos 2x}2+\dfrac{1+\cos 2y}2+\dfrac{1+\cos (-2z)}2\\ &=\dfrac 32+\dfrac 12\left(\cos 2\theta+\cos\left(2\theta+\dfrac{4\pi}3\right)+\cos\left(2\theta+\dfrac{8\pi}3\right)\right)\\ &=\dfrac32.\end{split}\]

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