每日一题[2065]缺斤短两

已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数,如 $[\pi]=3$,$[-\pi]=-4$ 等,则\[\left[\dfrac{2^0}3\right]+\left[\dfrac {2^1}{3}\right]+\left[\dfrac{2^2}{3}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2^{2020}}3\right]\]的值是_______.

答案    $\dfrac{2^{2021}-3032}3$.

解析    由于 $2^n\equiv (-1)^n\pmod 3$,于是\[\left[\dfrac{2^n}{3}\right]=\begin{cases} \dfrac{2^n-1}{3},&n\text{ 是偶数},\\ \dfrac{2^n-2}3,&n\text{ 是奇数},\end{cases}\]设原式为 $m$,则\[m=\dfrac{\left(2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{2020}\right)-1-2-1-\cdots-1}{3}=\dfrac{2^{2021}-3032}3.\]

练习    记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数.若\[A=\left[\dfrac 78\right]+\left[\dfrac{7^2}8\right]+\cdots+\left[\dfrac{7^{2019}}{8}\right]+\left[\dfrac{7^{2020}}{8}\right],\]则 $A$ 除以 $50$ 的余数为_______.

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