每日一题[2073]换元

已知 $0<a<b$,求证:$\dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}>\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}$.

证明    设 $\arctan a=x$,$\arctan b=y$,则 $0<x<y$.题中不等式即\[\dfrac{y-x}{\tan y-\tan x}>\cos x\cos y\iff y-x>\sin(y-x),\]这显然成立,命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论