在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=AC$，$\angle BAP=20^\circ$，$\angle ABP=10^\circ$，$\angle PAC=60^\circ$，则 $\angle APC=$ _______．
已知函数 $f(x)=x-\dfrac 12\sin x-\ln x$．
1、求函数在 $\left[1,\dfrac{\pi}3\right]$ 上的最大值．
2、证明：$f'(x)$ 有唯一零点．
3、若实数 $x_1,x_2$ 满足 $x_1\ne x_2$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1x_2<4$．
『2785029』设 $x_0$ 是方程 $x^{2019}-x-1=0$ 的正实根，$y_0$ 是方程 $y^{4038}-y-3x_0=0$ 的正实根．
1、试比较 $x_0$ 与 $y_0$ 的大小．
2、试求 $|x_0-y_0|$ 小数点后面的第 $10$ 位数字．
点 $P(x_0,y_0)$（$x_0>0$，$y_0>2)$ 是抛物线 $x^2=2y$ 上的点，过点 $P$ 作圆 $E:x^2+(y-1)^2=1$ 的两条切线分别交 $x$ 轴于 $B,C$ 两点，切点分别为 $M,N$，则 $\triangle PBC$ 的面积的最小值为（ ）
A．$4$
B．$16$
C．$12$
D．$8$
在三棱锥 $S-ABC$ 中，$SA=BC=2$，$SC=AB=\sqrt 3$，$SB=AC=\sqrt 5$，$M$ 为 $BC$ 中点，$N$ 为 $SA$ 中点．
1、求异面直线 $AM$ 与 $CN$ 的距离．
2、求 $A-SM-C$ 二面角的余弦值．
『2682538』设 $a,b,c,d>0$，求\[f(a,b,c,d)=\dfrac{a^3+b^3+c^3+d^3+ab+cd+16}{(a+b)(c+d)}\]的最小值．
『2602355』三边长分别为 $a,b,c$ 的三角形的内切圆半径为 $r$，外接圆半径为 $R$．求证：\[\dfrac{R}r-\dfrac ab-\dfrac ba\geqslant 8\cdot \dfrac{(a-c)^2(b-c)^2}{a^2b^2}.\]
已知 $a,b,c,d\geqslant 0$，$a+b\geqslant c+d$，则 $\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}$ 的最小值为_______．
