每日一题[2093]先猜后证

已知 $a,b,c,d\geqslant 0$,$a+b\geqslant c+d$,则 $\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}$ 的最小值为_______.

答案    $\dfrac 12$

解析    一方面,当 $b=c=0$,$a=d$ 时,有 $\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}=\dfrac 12$; 另一方面,有\[\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}\geqslant \dfrac{(a+2b)^2}{a(b+2d)+b(a+2c)}=\dfrac 12\cdot \dfrac{a^2+4ab+4b^2}{ab+ad+bc},\]而\[\begin{split} a^2+4ab+4b^2&=(a+b)^2+3ab+3b^2\\ &\geqslant (a+b)(c+d)+ab\\ &\geqslant ac+bc+ad+bd+ab\\ &\geqslant ab+ad+bc,\end{split}\]因此\[\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}\geqslant \dfrac 12,\]从而所求最小值为 $\dfrac 12$.

注    原题给的条件是$a,b>0$,有误.当$a\to d$,$b\to 0$时,$\dfrac{a}{b+2d}+\dfrac{4b}{a+2c}\to \dfrac 12$,因此 $\dfrac 12$ 为下确界,而非最小值.

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