已知函数 $f(x)=\begin{cases}2+3\ln x,&x\geqslant1,\\x+1,&x<1,\end{cases}$ 若 $m\ne n$，且 $f(m)+f(n)=4$，则 $m+n$ 的最小值是（ ）
A．$2$
B．${\rm e}-1$
C．$4-3\ln3$
D．$3-3\ln2$
四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，对边 $AB,DC$ 延长交于 $P$，$AD,BC$ 延长交于 $Q$，过点 $Q$ 作 $\odot O$ 的两条切线，切点分别为 $E,F$．求证：$P,E,F$ 共线．
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=\sqrt{2}$，$a_{2}=2$，$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^{2}+2^{n+2}}{a_{n}}$，$n \in \mathbb{N}^{*}$，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
已知正整数 $p,q$ 满足 $|2p^2-q^2|=1$，且数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2} a_{n}+\dfrac{p^2}{q^2a_{n}}$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，$\dfrac{2p}{\sqrt{q^2a_n^2-2p^2}}$ 为正整数．
已知 $p,q\in\mathbb Z$，数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=0$，$a_{n+1}=pa_n+\sqrt{(p^2-1)a_n^2+q^2},n\geqslant 1$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$，求证：${a_n}$ 为整数数列．
已知 $a,b$ 为正数，且 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=1$，且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$(a+b)^n-a^n-b^n\geqslant 2^{2n}-2^{n+1}$．
考虑等角六边形 $ABCDEF$，求证：\[AC^2+CE^2+EA^2=BD^2+DF^2+FB^2.\]
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$(2 n+1)^{n} \geqslant(2 n)^{n}+(2 n-1)^{n}$．
在 $\triangle A B C$ 中，满足 $a \cdot\cos B+b \cdot\cos C+c\cdot \cos A=b \cdot \cos A+c \cdot \cos B+a \cdot \cos C$，判断 $\triangle A B C$ 的形状．
已知 $n\in\mathbb Z$，函数 $f(x)=x^{2}+x+\dfrac{1}{2}$ 的定义域是 $[n, n+1]$，问 $f(x)$ 的值域中有多少个整数？
