观察下列等式：
① $ \cos 2{\alpha} =2 \cos ^2 {\alpha} -1 $；
② $ \cos 4{\alpha} =8 \cos ^4 {\alpha} -8 \cos ^2 {\alpha} +1 $；
③ $ \cos 6{\alpha} =32 \cos ^6 {\alpha} -48 \cos ^4 {\alpha} +18 \cos ^2 {\alpha} -1 $；
④ $ \cos 8{\alpha} = 128 \cos ^8{\alpha} -256\cos ^6 {\alpha} +160 \cos ^4 {\alpha} -32 \cos ^2 {\alpha} +1 $；
⑤ $ \cos 10{\alpha} =m\cos ^{10}{\alpha} -1280 \cos ^8{\alpha} +1120\cos ^6 {\alpha} +n\cos ^4 {\alpha} +p \cos ^2 {\alpha} -1 $．
可以推测，$ m-n+p= $_______．
在一次竞赛中出 $A,B,C$ 三道题．
① 在所有参赛学生中共有 $30$ 人至少解出一道题；
② 仅对一题的学生中，解出 $C$ 题的人数占一半；
③ 解出 $A$ 题的学生人数等于仅解出 $B$ 题的学生人数；
④ 仅做对 $AB$ 的人数等于仅做对 $BC$ 的人数；
⑤ 仅做对 $A$ 的人数等于 $4$；
⑥ 同时仅做对 $AC$ 的人数是同时仅做对 $AB$ 人数的一半． 则同时解出 $ABC$ 的学生人数为_______．
已知集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，任取 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$，$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$，$a_i+a_j\in A$，$a_j+a_k\in A$，$a_i+a_k\in A$ 中至少有一个成立，则 $n$ 的最大值为（ ）
A．$3$
B．$5$
C．$7$
D．$9$
已知 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=60^\circ$，$AC=4$，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，作圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，且与 $AC,AB$ 相切，设圆 $O_n$ 的面积为 $S_n$，且 $A_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=$_______．
已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $(m,n)=1$，求证：\[(x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1,x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1)=1.\]
设 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}2=1$ 的左、右焦点，过点 $F_1$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点，且 $|AF_2|=|AB|$，$\overrightarrow{F_1B}=\lambda \overrightarrow{AF_1}$，则 $\lambda$ 的值可能为（ ）
A．$\dfrac 12$
B．$1$
C．$2$
D．$3$
已知 $f(x)=x\ln x-x+\dfrac ax$，其中 $a$ 为实数．
1、讨论 $f(x)$ 的极值点的个数．
2、当 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 时，求证：\[\dfrac n{2n+4}<\ln ^22+\ln^2\dfrac32+\cdots+\ln^2\dfrac{n+1}n<\dfrac n{n+1}.\]
已知函数 $f(x)=\dfrac 12ax^2-ax+\ln x$（$a\in\mathbb R$）．
1、若 $a<0$，判断 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，当 $a<{\rm e}^2$ 时，求证：\[f(x_1)-f(x_2)<\dfrac 12{\rm e}^2-2.\]
已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，圆 $O_1$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，圆 $O$ 是四边形 $ABC_1D_1$ 的外接圆．设 $P,Q$ 分别为圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 上的动点，则线段 $PQ$ 的最小值为_______．
解实数方程：\[\sin ^7x+\dfrac1{\cos^3x}=\cos^7x+\dfrac1{\sin^3x}.\]
