每日一题[2121]小绵羊

解实数方程:\[\sin ^7x+\dfrac1{\cos^3x}=\cos^7x+\dfrac1{\sin^3x}.\]

答案    $x=\dfrac{\pi}4+k\pi,k\in\mathbb Z$.

解析    设 $f(t)=t^7-\dfrac1{t^3}$,则\[f(t)=\dfrac{t^{10}-1}{t^3},\]于是 $f(t)$ 在 $[-1,0)$ 上单调递增且函数值为正数,在 $(0,1]$ 上单调递增且函数值为负数.因此函数 $ f(t)$ 的自变量与函数值一一对应,从而题中方程即\[f(\sin x)=f(\cos x)\iff \sin x=\cos x\iff x=\dfrac{\pi}4+k\pi,k\in\mathbb Z.\]

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