在正 $n$（$n \geqslant 3$）棱锥 $P-A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 中，$O$ 为底面正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的中心，$B$ 为棱 $A_{1} A_{n}$ 的中点．
1、证明：$P O^{2} \sin ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}+P A_{1}^{2} \cos ^{2} \dfrac{\mathrm{\pi}}{n}=P B^{2}$．
2、设正 $n$ 棱雉 $P-A_{1} A_{2} \cdots A_{n}$ 的侧棱与底面所成的角为 $\alpha$，侧面与底面所成的角为 $\beta$，试确 定 $\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \cos \angle A_{i} P B$ 与 $\sin \alpha \cdot \sin \beta$ 的大小关系，并予以证明．
在平面直角坐标系中，函数 $y=\dfrac{1}{|x|}$ 的图像为 $\Gamma$．设 $\Gamma$ 上的两点 $P,Q$ 满足：$P$ 在 第一象限，$Q$ 在第二象限，且直线 $P Q$ 与 $\Gamma$ 位于第二象限的部分相切于点 $Q$．求 $|P Q|$ 的最小值．
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=a_{2}=a_{3}=1$．令 $b_{n}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}$（$n \in \mathbb{N}^{*}$）．若 $\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 $3$ 的等比数列，求 $a_{100}$ 的值．
设 $a_{1},a_2,\cdots,a_{10}$ 是 $1,2,\cdots,10$ 的一个随机排列，则在 $a_{1} a_{2},a_{2} a_{3}, \cdots,a_{9} a_{10}$ 这 $9$ 个数中既出现 $9$ 又出现 $12$ 的概率为_______．
已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$，点 $O$ 为坐标原点．若双曲线 $C$ 上有一点 $P$，使得直线 $PF_1$ 和直线 $PF_2$ 分别交双曲线 $C$ 于点 $M,N$，且满足 $OP\perp MN$，则双曲线 $C$ 的离心率 $e=$ _______．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知拋物线 $y=a x^{2}-3 x+3$（$a \neq 0$）的图像与抛物线 $y^{2}=2 p x$（$p>0$）的图像关于直线 $y=x+m$ 对称，则实数 $a,p,m$ 的乘积为_______．
设 $a,b,c>1$，满足 $\left(a^{2} b\right)^{{\log _{a}} c}=a \cdot(a c)^{{\log _{a}} b}$，则 $\log _{c}(a b)$ 的值为_______．
如图，正方体 $A B C D-E F G H$ 的棱长为 $2$，在正方形 $A B F E$ 的内切圆上任取一点 $P_{1}$，在正方形 $B C G F$ 的内切圆上任取一点 $P_{2}$，在正方形 $E F G H$ 的内切圆上任取一点 $P_{3}$．求 $\left|P_{1} P_{2}\right|+\left|P_{2} P_{3}\right|+\left|P_{3} P_{1}\right|$ 的最小值与最大值．
在平面直角坐标系中，函数 $y=\dfrac{x+1}{|x|+1}$ 的图像上有三个不同的点位于直线 $l$ 上，且这三点的横坐标之和为 $0$．求直线 $l$ 的斜率的取值范围．
设有理数 $r=\dfrac{p}{q} \in(0,1)$，其中 $p,q$ 为互素的正整数，且 $p q$ 整除 $3600$．这样的有理数 $r$ 的个数为_______．
