已知实数 $a,b$ 满足 $\sqrt{1-\dfrac{a^2}2}+\sqrt{1-\dfrac{b^2}3}=\dfrac 32$，则 $ab$ 的最大值为_______．
已知 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=60^\circ$，$AC=4$，圆 $O_1$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆，作圆 $O_2$ 与圆 $O_1$ 外切，且与 $AC,AB$ 相切，设圆 $O_n$ 的面积为 $S_n$，且 $A_n=S_1+S_2+\cdots+S_n$，则 $\lim\limits_{n\to +\infty}A_n=$_______．
求所有的函数 $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$，使得对于任意实数 $x,y$，均有\[f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).\]
求所有的函数 $f:\mathbb R\to \mathbb R$，使得对于任意实数 $x,y$ 有\[ f(2f(x) +f(y)) =2x +f(y).\]
求所有的函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对所有的 $x, y \in \mathbb{R}$ 均有\[(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y) f(x+y).\]
我们可以利用数列 $\left\{a_n\right\} $ 的递推公式 $a_n=\begin{cases}n,&n~\text{为奇数时},\\a_{\frac n2},&n~\text{为偶数时},\end{cases}\left( n\in \mathbb N^{\ast} \right)$ 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则 $a_{24}+a_{25}$ =[[nn]]；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 $8$ 个 $5$ 是该数列的第[[nn]]项．
设 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：\[\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\leqslant \dfrac a{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}.\]
设 $a,b,c,d$ 为正实数，且 $a+b+c+d=4$．证明：\[\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{d}+\dfrac{d^2}{a}\geqslant 4+(a-b)^2.\]
平面直角坐标系中有 $16$ 个格点 $(i,j)$，其中 $0\leqslant i\leqslant 3$，$0\leqslant j\leqslant 3$．若在这 $16$ 个点中任取 $n$ 个点，这 $n$ 个点中总存在 $4$ 个点，这 $4$ 个点是一个正方形的顶点，求 $n$ 的最小值．
证明：对任意 $x\in\mathbb R^{\ast}$，有\[\max\{0,\ln |x|\}\geqslant \dfrac{\sqrt 5-1}{2\sqrt 5}\ln |x|+\dfrac1{2\sqrt 5}\ln |x^2-1|+\dfrac 12\ln\dfrac{\sqrt 5+1}2,\]且等号成立的充要条件是 $x=\pm\dfrac{\sqrt 5+1}2$ 或 $x=\pm \dfrac{\sqrt 5-1}2$．
