已知 $S$ 是集合 $\{1,2,3,\cdots,2021\}$ 的子集，且 $S$ 中的任何两个不同元素之和不是 $5$ 的倍数，则 $S$ 中的元素个数的最大值为（ ）
A．$808$
B．$809$
C．$810$
D．$811$
已知函数 $f(x)=\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x$，$x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则（ ）
A．$f(x)$ 的最大值为 $\dfrac {23}8$
B．$f(x)$ 的最小值为 $\dfrac {2}5$
C．$f(x)$ 的最大值为 $\dfrac {38}{25}$
D．$f(x)$ 的最小值为 $\dfrac {1}5$
已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，则 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}{24}$
B．$\dfrac{\sqrt 3}{18}$
C．$\dfrac{\sqrt 3}{15}$
D．$\dfrac{\sqrt 3}{12}$
已知三棱锥 $D-ABC$ 中，$AC=BC=AD=BD=1$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积的最大值为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 2}{24}$
B．$\dfrac{\sqrt 2}{12}$
C．$\dfrac{2\sqrt 3}{27}$
D．$ \dfrac{\sqrt 3}{9}$
已知正整数 $m,n$ 的最大公约数为 $10!$，最小公倍数为 $50!$，则满足要求的 $(m,n)$ 的组数为（ ）
A．$2^{5}$
B．$2^{10}$
C．$2^{15}$
D．$2^{20}$
已知 $a,b\in (0,180)$ 且 $a,b\in\mathbb N^{\ast}$，则关于 $a,b$ 的方程\[\dfrac{\sin (a+b)^\circ}{\sin a^\circ}=\dfrac{\sin (a+2b)^\circ}{\sin b^\circ}\]的正整数解 $(a,b)$ 的个数是_______．
『28933303』对于一个正整数 $m$，设 $S(m)$ 为其十进制表示下所有数码之和．求证：对任何正整数 $k$，都存在 $n$ 满足 $k\mid n$，且 $S(n)=S(n^2)$．
『28929865』正整数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$\left\{a_{a_n}\right\}$（$n=1,2,\cdots$）构成公差为 $d$ 的等差数列（$d\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、若 $\{a_n\}$ 为等差数列，求 $d-a_3$ 的最小值．
2、若 $n\geqslant d$，求证：$a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant \left(\dfrac 32-\dfrac 8d\right)n^2$．
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则方程 $\left[\dfrac x2\right]+\left[\dfrac x3\right]+\left[\dfrac x5\right]=x$ 的解的个数为（ ）
A．$15$
B．$30$
C．$60$
D．无穷多个
『28920987』设 $S(m)$ 是十进制下 $m$ 的各位数码之和，且 $S_{n+1}(n)=S\left(S_n(m)\right)$，$n\in\mathbb N$，其中记 $S_0(m)=m$．若 $S_k(m)$（$k=0,1,2,\cdots$）均为奇数，则称 $m$ 为奇和数；若 $S_k(m)$（$k=0,1,2,\cdots$）均为偶数，则称 $m$ 为偶和数．求证：在不超过 $2017$ 的正整数中，奇和数比偶和数多．
