Math173

坐标平面上有一边长为 $3$ 个正六边形 $A B C D E F$，其中 $A(3,0)$，$D(-3,0)$，则椭圆 $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{7}=1$ 与正六边形 $A B C D E F$ 有多少个交点？（       ）

A．$0$

B．$2$

C．$4$

D．$6$

E．$8$

继续阅读 →

已知 $a,b$ 是互质的正整数，满足 $a+b=2005$．用 $[x]$ 表示数 $x$ 的整数部分，并记\[\begin{split} A&=\left[\dfrac{2005\times 1}{a}\right]+\left[\dfrac{2005\times 2}{a}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2005\times a}{a}\right],\\ B&=\left[\dfrac{2005\times 1}{b}\right]+\left[\dfrac{2005\times 2}{b}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2005\times b}{b}\right],\end{split}\]试求 $A+B$ 的值．

继续阅读 →

设 $S_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$，$n$ 是正整数．证明：对满足 $0\leqslant a<b\leqslant1$ 的任意实数 $a,b$，数列 $\big\{S_n-[S_n]\big\}$ 中有无穷多项属于 $(a,b)$，这里 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．

继续阅读 →

对于数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$：$1,3,3,3,5,5,5,5,5, \cdots $ 即正奇数 $k$ 有 $k$ 个，是否存在整数 $r,s,t$，使得对于任意正整数 $n$ 都有 ${a_n} = r \cdot \left[ {\sqrt {n + s} } \right] + t$ 恒成立（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）．

继续阅读 →

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^{\left[ {\frac{n}{3}} \right]} {\left[ {\dfrac{{n - 3i}}{2}} \right]} = \left[ {\dfrac{{{n^2} + 2n + 4}}{{12}}} \right]$．

继续阅读 →

已知 $\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=2}^{10}{\left(\lfloor kx\rfloor-k\lfloor x \rfloor\right)}$，其中 $\lfloor r \rfloor$ 为不大于 $r$ 的最大整数．则当 $x\geqslant 0$ 时 $f(x)$ 的能取到的不同值的个数为（       ）

A．$32$

B．$36$

C．$45$

D．$46$

E．无穷多个

继续阅读 →

如图所示，已知抛物线 $C: y^{2}=2 x$，过点 $A(2,0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个交点，若抛物线 $C$ 上存在不同的两点 $M, N$ 关于直线 $l$ 对称，记 $M N$ 的中点为 $T$．

1、求点 $T$ 的轨迹方程．

2、求 $\triangle A M T$ 的面积的最大值．

继续阅读 →

四棱锥 $A-B C D E$ 中，$\triangle A B C$ 为正三角形，$C D \parallel B E$，$B C=C D=\dfrac{1}{2} B E=1$，$D E=\sqrt{3}$，$A D=\dfrac{3}{2}$．

1、求四棱锥 $A-B C D E$ 的体积．

2、求 $B E$ 与面 $A D E$ 所成角的正弦值．

继续阅读 →

已知 $P(a, b)$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$ 上的任意一点，过原点 $O$ 作圆 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\dfrac{6}{5}$（$a^{2} \neq \dfrac{6}{5}$）的两条切线，设这两条切线与椭圆交于 $M, N$ 两点，则 $O M, O N$ 的斜率之积为（       ）

A．$-\dfrac{1}{2}$

B．$-\dfrac{2}{3}$

C．$-\dfrac{3}{4}$

D．$-\dfrac{5}{6}$

继续阅读 →

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=4$，$A C=3$，$\angle B A C=120^{\circ}$，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $2 B E=E C$，则 $A E$ 的长度为（       ）

A．$\dfrac{5}{2}$

B．$\dfrac{7}{3}$

C．$\dfrac{2 \sqrt{7}}{3}$

D．$2 \sqrt{2}$

继续阅读 →