已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，则 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}{24}$
B．$\dfrac{\sqrt 3}{18}$
C．$\dfrac{\sqrt 3}{15}$
D．$\dfrac{\sqrt 3}{12}$
答案 B．
解析 根据题意，有\[m=a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)=(a-b)(a-c)(b-c),\]考虑到 $a,b,c$ 的轮换性，不妨设 $a$ 是 $a,b,c$ 中的最大数．由于题目要求 $m$ 的最大值，因此只需考虑 $b\geqslant c$ 的情形，设 $b=c+x$，$a=b+y$，且 $x,y\geqslant 0$，则\[a+b+c=1\iff 3c+2x+y=1\implies 3c=1-2x-y\geqslant 0\implies y\leqslant 1-2x,\]且\[m=xy(x+y)\leqslant x(1-2x)(1-x)=2x^3-3x^2+x,\]其中 $x\in \left[0,\dfrac 12\right]$．设右侧函数为 $f(x)$（$x\in\left[0,\dfrac 12\right]$，则其导函数\[f'(x)=6x^2-6x+1,\]于是当 $x=\dfrac 12-\dfrac{\sqrt 3}6$ 时函数 $f(x)$ 取得最大值，为 $\dfrac{\sqrt 3}{18}$．
备注 考虑\[2x^3-3x^2+x=(6x^2-6x+1)\left(\dfrac 13x-\dfrac16\right)+\dfrac{1-2x}6, \]可以更快由最大值点的值计算最大值．