题拍拍征解题[44](已解决)

『28933303』对于一个正整数 $m$,设 $S(m)$ 为其十进制表示下所有数码之和.求证:对任何正整数 $k$,都存在 $n$ 满足 $k\mid n$,且 $S(n)=S(n^2)$.

2021年8月15日,by xixiggg.

由抽屉原理易知:存在 $a,b\in \mathbb{N}^{\ast}$,使\[10^{a+b}\equiv 10^b\pmod k.\]取 $n=10^b(10^a-1)$,则 $k\mid n$,且 $S(n)=9a$.又\[n^2=10^{2b}(10^{2a}-2\cdot 10^a+1)=10^{2b}\cdot (10^a\cdot (10^a-2)+1),\]所以\[S(n^2)=S(10^a-2)+S(1)=(9a-1)+1=9a,\]于是 $S(n)=S(n^2)$,命题得证.

此条目发表在问题征解分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论