已知三棱锥 $D-ABC$ 中,$AC=BC=AD=BD=1$,则三棱锥 $D-ABC$ 的体积的最大值为( )
A.$\dfrac{\sqrt 2}{24}$
B.$\dfrac{\sqrt 2}{12}$
C.$\dfrac{2\sqrt 3}{27}$
D.$ \dfrac{\sqrt 3}{9}$
答案 C.
解析 如图,四面体 $ABCD$ 的外接平行六面体的上下底面为菱形,其余各侧面是全等的矩形.
设 $AB=2m$,$CD=2n$,$AA_1=h$,则\[AD=\sqrt{AA_1^2+A_1D^2}=\sqrt{m^2+n^2+h^2}=1\implies m^2+n^2+h^2=1,\]此时三棱锥 $D-ABC$ 的体积\[[D-ABC]=\dfrac 16\cdot 2m\cdot 2n\cdot h=\dfrac 23mnh\leqslant \dfrac 23\cdot \left(\dfrac{m^2+n^2+h^2}3\right)^{\frac 32}=\dfrac{2\sqrt 3}{27},\]等号当 $m=n=h=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得,因此所求体积的最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}{27}$.