每日一题[2392]补形

已知三棱锥 $D-ABC$ 中,$AC=BC=AD=BD=1$,则三棱锥 $D-ABC$ 的体积的最大值为(       )

A.$\dfrac{\sqrt 2}{24}$

B.$\dfrac{\sqrt 2}{12}$

C.$\dfrac{2\sqrt 3}{27}$

D.$ \dfrac{\sqrt 3}{9}$

答案    C.

解析    如图,四面体 $ABCD$ 的外接平行六面体的上下底面为菱形,其余各侧面是全等的矩形.

设 $AB=2m$,$CD=2n$,$AA_1=h$,则\[AD=\sqrt{AA_1^2+A_1D^2}=\sqrt{m^2+n^2+h^2}=1\implies m^2+n^2+h^2=1,\]此时三棱锥 $D-ABC$ 的体积\[[D-ABC]=\dfrac 16\cdot 2m\cdot 2n\cdot h=\dfrac 23mnh\leqslant \dfrac 23\cdot \left(\dfrac{m^2+n^2+h^2}3\right)^{\frac 32}=\dfrac{2\sqrt 3}{27},\]等号当 $m=n=h=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得,因此所求体积的最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}{27}$.

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