已知 $a,b\in (0,180)$ 且 $a,b\in\mathbb N^{\ast}$,则关于 $a,b$ 的方程\[\dfrac{\sin (a+b)^\circ}{\sin a^\circ}=\dfrac{\sin (a+2b)^\circ}{\sin b^\circ}\]的正整数解 $(a,b)$ 的个数是_______.
对等式进行化简 已知\(\frac{\sin(a + b)^{\circ}}{\sin a^{\circ}}=\frac{\sin(a + 2b)^{\circ}}{\sin b^{\circ}}\),交叉相乘可得\(\sin(a + b)^{\circ}\sin b^{\circ}=\sin(a + 2b)^{\circ}\sin a^{\circ}\)。 根据三角函数的积化和差公式\(\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\),将上式进行转化: \[ \begin{align*} \frac{1}{2}[\cos((a + b) - b) - \cos((a + b) + b)]&=\frac{1}{2}[\cos((a + 2b) - a) - \cos((a + 2b) + a)]\\ \cos a^{\circ} - \cos(a + 2b)^{\circ}&=\cos 2b^{\circ} - \cos(2a + 2b)^{\circ}\\ \cos(2a + 2b)^{\circ} - \cos(a + 2b)^{\circ}&=\cos 2b^{\circ} - \cos a^{\circ} \end{align*} \] 再根据和差化积公式\(\cos\alpha - \cos\beta = - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\)进一步化简: \[ \begin{align*} -2\sin\frac{(2a + 2b)+(a + 2b)}{2}\sin\frac{(2a + 2b)-(a + 2b)}{2}&=-2\sin\frac{2b + a}{2}\sin\frac{2b - a}{2}\\ -2\sin\frac{3a + 4b}{2}\sin\frac{a}{2}&=-2\sin\frac{a + 2b}{2}\sin\frac{2b - a}{2}\\ \sin\frac{3a + 4b}{2}\sin\frac{a}{2}&=\sin\frac{a + 2b}{2}\sin\frac{2b - a}{2} \end{align*} \] 分情况讨论 - **情况一:\(\sin\frac{a}{2}=0\)或\(\sin\frac{2b - a}{2}=0\)** - 若\(\sin\frac{a}{2}=0\),因为\(a\in(0,180)\)且\(a\in N^*\),则\(\frac{a}{2}=k\cdot180^{\circ}\)(\(k\in Z\)),在给定范围内无解。 - 若\(\sin\frac{2b - a}{2}=0\),则\(\frac{2b - a}{2}=k\cdot180^{\circ}\)(\(k\in Z\)),即\(2b - a = 360k\)。 由于\(a,b\in(0,180)\)且\(a,b\in N^*\),当\(k = 0\)时,\(2b - a = 0\),即\(a = 2b\)。 因为\(a\in(0,180)\),\(b\in(0,180)\),所以\(0<2b<180\),\(0<b<90\),\(b\)可以取\(1\)到\(89\)这\(89\)个正整数,此时对应的\(a = 2b\)也满足条件,有\(89\)组解。 - **情况二:\(\sin\frac{3a + 4b}{2}=\sin\frac{a + 2b}{2}\)** 根据正弦函数的性质\(\sin\alpha=\sin\beta\),则\(\alpha=\beta + 2k\pi\)或\(\alpha=\pi - \beta + 2k\pi\)(\(k\in Z\))。 - 当\(\frac{3a + 4b}{2}=\frac{a + 2b}{2}+360k\)(\(k\in Z\))时,化简可得\(a = 360k\),在\(a\in(0,180)\)范围内无解。 - 当\(\frac{3a + 4b}{2}=180-\frac{a + 2b}{2}+360k\)(\(k\in Z\))时,化简可得\(2a + 3b = 180 + 360k\)。 因为\(a,b\in(0,180)\)且\(a,b\in N^*\),当\(k = 0\)时,\(2a + 3b = 180\),则\(a = 90 - \frac{3b}{2}\)。 由\(0<90 - \frac{3b}{2}<180\)且\(0<b<180\),可得\(0 < b < 60\),且\(b\)是\(2\)的倍数,\(b\)可以取\(2,4,\cdots,58\),共\(29\)个值,此时对应的\(a\)也满足条件,有\(29\)组解。 计算正整数解的个数 将两种情况的解的个数相加,可得正整数解\((a,b)\)的个数为\(89 + 29 = 118\)。
综上,答案为\(118\)。
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对等式进行化简
已知\(\frac{\sin(a + b)^{\circ}}{\sin a^{\circ}}=\frac{\sin(a + 2b)^{\circ}}{\sin b^{\circ}}\),交叉相乘可得\(\sin(a + b)^{\circ}\sin b^{\circ}=\sin(a + 2b)^{\circ}\sin a^{\circ}\)。
根据三角函数的积化和差公式\(\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\),将上式进行转化:
\[
\begin{align*}
\frac{1}{2}[\cos((a + b) - b) - \cos((a + b) + b)]&=\frac{1}{2}[\cos((a + 2b) - a) - \cos((a + 2b) + a)]\\
\cos a^{\circ} - \cos(a + 2b)^{\circ}&=\cos 2b^{\circ} - \cos(2a + 2b)^{\circ}\\
\cos(2a + 2b)^{\circ} - \cos(a + 2b)^{\circ}&=\cos 2b^{\circ} - \cos a^{\circ}
\end{align*}
\]
再根据和差化积公式\(\cos\alpha - \cos\beta = - 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\)进一步化简:
\[
\begin{align*}
-2\sin\frac{(2a + 2b)+(a + 2b)}{2}\sin\frac{(2a + 2b)-(a + 2b)}{2}&=-2\sin\frac{2b + a}{2}\sin\frac{2b - a}{2}\\
-2\sin\frac{3a + 4b}{2}\sin\frac{a}{2}&=-2\sin\frac{a + 2b}{2}\sin\frac{2b - a}{2}\\
\sin\frac{3a + 4b}{2}\sin\frac{a}{2}&=\sin\frac{a + 2b}{2}\sin\frac{2b - a}{2}
\end{align*}
\]
分情况讨论
- **情况一:\(\sin\frac{a}{2}=0\)或\(\sin\frac{2b - a}{2}=0\)**
- 若\(\sin\frac{a}{2}=0\),因为\(a\in(0,180)\)且\(a\in N^*\),则\(\frac{a}{2}=k\cdot180^{\circ}\)(\(k\in Z\)),在给定范围内无解。
- 若\(\sin\frac{2b - a}{2}=0\),则\(\frac{2b - a}{2}=k\cdot180^{\circ}\)(\(k\in Z\)),即\(2b - a = 360k\)。
由于\(a,b\in(0,180)\)且\(a,b\in N^*\),当\(k = 0\)时,\(2b - a = 0\),即\(a = 2b\)。
因为\(a\in(0,180)\),\(b\in(0,180)\),所以\(0<2b<180\),\(0<b<90\),\(b\)可以取\(1\)到\(89\)这\(89\)个正整数,此时对应的\(a = 2b\)也满足条件,有\(89\)组解。
- **情况二:\(\sin\frac{3a + 4b}{2}=\sin\frac{a + 2b}{2}\)**
根据正弦函数的性质\(\sin\alpha=\sin\beta\),则\(\alpha=\beta + 2k\pi\)或\(\alpha=\pi - \beta + 2k\pi\)(\(k\in Z\))。
- 当\(\frac{3a + 4b}{2}=\frac{a + 2b}{2}+360k\)(\(k\in Z\))时,化简可得\(a = 360k\),在\(a\in(0,180)\)范围内无解。
- 当\(\frac{3a + 4b}{2}=180-\frac{a + 2b}{2}+360k\)(\(k\in Z\))时,化简可得\(2a + 3b = 180 + 360k\)。
因为\(a,b\in(0,180)\)且\(a,b\in N^*\),当\(k = 0\)时,\(2a + 3b = 180\),则\(a = 90 - \frac{3b}{2}\)。
由\(0<90 - \frac{3b}{2}<180\)且\(0<b<180\),可得\(0 < b < 60\),且\(b\)是\(2\)的倍数,\(b\)可以取\(2,4,\cdots,58\),共\(29\)个值,此时对应的\(a\)也满足条件,有\(29\)组解。
计算正整数解的个数
将两种情况的解的个数相加,可得正整数解\((a,b)\)的个数为\(89 + 29 = 118\)。
综上,答案为\(118\)。