已知函数 $f(x)=\ln x-a x+\dfrac{a}{x}$（$a>0$）．
1、当 $a=\dfrac{1}{2}$ 时：
① 解关于 $x$ 的不等式 $f(x)>0$；
② 已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $n\geqslant 2$，证明：\[\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{4^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)<\mathrm{e}^{\frac{3}{4}}.\]
2、若函数 $g(x)=f(x)-\ln 2+\dfrac{3 a}{x}$ 恰有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动圆 $P$ 与圆 $O_{1}: x^{2}-2 x+y^{2}=0$ 内切，且与直线 $x=-2$ 相切，设动圆圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$．
1、求曲线 $C$ 的方程．
2、曲线 $C$ 上存在一点 $S\left(4, y_{0}\right)$（$y_{0}>0$），不经过点 $S$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若直线 $A S, B S$ 的斜率之和为 $2$，证明：直线 $l$ 过定点．
已知函数 $f(x)=a \ln x-\sin x+x$，其中 $a$ 为非零常数．
1、若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围．
2、设 $\theta \in\left(\pi, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$，且 $\cos \theta=1+\theta \sin \theta$，证明：当 $\theta^{2} \sin \theta<a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,2 \pi)$ 上恰有两个极值点．
元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛．初赛阶段有个人 晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛为“信息连线”题，每位参赛者只有一次挑战机会．比赛规 则为：电脑随机给出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级．团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于 $30$ 人，且 参赛人数为偶数．为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确，并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功．参赛方式 有如下两种，各班可自主选择其中之一参赛．
方式一：将班级团队选派的 $2n$ 个人平均分成 $n$ 组，每组 $2$ 人．电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这 $n$ 个小组都闯间关成功，则该班级团队挑战成功．
方式二：将班级团队选派的 $2n$ 个人平均分成 $2$ 组，每组 $n$ 人．电脑随机分配给同一组 $n$ 个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这 $n$ 个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这 $2$ 个小组至少有一个小组闯关成功，则该班级团队挑战成功．
1、甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率．
2、在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 $p$（$0<p<1$），为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．
已知抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线为 $l$，过点 $M(1,0)$ 且倾斜角为 $60^\circ$ 的直线 $m$ 与直线 $l$ 交于点 $A$，$B$ 为抛物线 $C$ 上一点，且满足 $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$，则 $p=$ _______．
设 $a, b$ 都为正数，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数，若 $a \mathrm{e}^{a+1}+b<b \ln b$，则（ ）
A．$a b>\mathrm{e}$
B．$b>\mathrm{e}^{a+1}$
C．$a b<\mathrm{e}$
D．$b<\mathrm{e}^{a+1}$
在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点 $A(1,0)$，$B(2,0)$，$C(4,0)$，$D(8,0)$，则这个正方形的面积可能为_______．
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $a_{1}=3$，$S_{3}=5 a_{1}$．
1、求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
2、设 $b_{n}=1+\dfrac{2}{S_{n}}$，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$．定义 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[0.3]=0$，$[1.5]=1$．当 $\left[T_{1}\right]+\left[T_{2}\right]+\cdots+\left[T_{n}\right]=63$ 时，求 $n$ 的值．
设椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$），圆 $C:(x-2 m)^{2}+(y-4 m)^{2}=1$（$m \neq 0$），点 $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，点 $C$ 为圆心，$O$ 为原点，线段 $O C$ 的垂直平分线为 $l$．已知 $E$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $l$ 的对称点都在圆 $C$ 上．
1、求椭圆 $E$ 的方程．
2、设直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，问：是否存在实数 $m$，使直线 $A C$ 与 $B C$ 的斜率之和 为 $\dfrac{2}{3}$？若存在，求实数 $m$ 的值；若不存在，说明理由．
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\triangle ABD,\triangle BCD,\triangle ABC$ 的面积比是 $3:4:1$，点 $M,N$ 分别在 $AC,CD$ 上，满足 $AM:AC=CN:CD$，并且 $B,M,N$ 三点共线．求证：$M$ 与 $N$ 分别是 $AC$ 与 $CD$ 的中点．
