Math173

『28934067』设 $a,b,c$ 是正实数，求证：$\dfrac{bc}{a^2+bc}+\dfrac{ca}{b^2+ca}+\dfrac{ab}{c^2+ab}\leqslant \dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}$．

『28914243』已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，求证：$\dfrac a{a^2+bc+a}+\dfrac{b}{b^2+ca+1}+\dfrac{c}{c^2+ab+1}\leqslant 1$．

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『28914143』已知 $p$ 和 $q$ 是两个不同素数，$\varphi(x)$ 表示不超过 $x$ 且与 $x$ 互素的正整数的个数．

1、求证：$\varphi(pq)=pq\left(1-\dfrac 1p\right)\left(1-\dfrac 1q\right)$．

2、$n$ 为 $m$ 个不同素数的乘积，且 $S=\displaystyle\sum_{\substack{xy\mid n,\\ x,y\in\mathbb N^{\ast}}}\varphi(x)\cdot y$，求 $\dfrac{S}n$．

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『28907585』设集合 $S\subseteq \mathbb N^{\ast}$．若存在函数 $f:S\to\mathbb N^{\ast}$，满足对任意 $a,b,c\in S$，$a,b,c$ 成等比数列当且仅当 $f(a),f(b),f(c)$ 成等差数列，则称 $S$ 为好集合．

1、证明：$\mathbb N^{\ast}$ 不是好集合．

2、集合 $T=\{x\in\mathbb N^{\ast}\mid \text{ 对任意质数 }p,p^{2021}\nmid x\}$ 是否为好集合？

『28904109』某届数学年会恰有 $n$（$n\geqslant 8$）对夫妻参加，大会安排所有的男士坐一张有 $n$ 个座位的圆桌旁，所有女士坐在另一张也是有 $n$ 个座位的圆桌旁．大会主办单位法医会中人传人的病毒在与会者之间传播，且其传播途径如下：设 $P$ 为一位健康的与会者，且只有在其所在位置两侧邻座及其配偶这三人中至少有两人感染病毒的情形下，$P$ 才会感染到病毒，否则，$P$ 会一直保持健康．设会议一开始的 $2n$ 个人中某 $m$ 个人已经成为了病毒感染者，且之后病毒在与会者之间不断传染，导致最终所有原本健康的与会均感染了病毒．求 $m$ 的最小值．

『28903573』已知锐角 $\triangle ABC$ 内接于圆 $O$，过 $A$ 作 $BC$ 的垂线交圆 $O$ 于点 $D$，$K$ 为线段 $BC$ 珊高一点，$E,F$ 分别在 $AC,AB$ 上且 $FB=FK$，$EC=EK$，求证：$DK\perp EF$．

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『28903405』在一场舞会开始时，舞池中有 $20$ 个女孩和 $22$ 个男孩，无耻外还有无穷多个等待入场的女孩和男孩．舞池的游戏规则如下：每一轮机会均等的从舞池中选出一个幸运儿，如果被选出来的是名女孩，她会邀请一位舞池中的男孩跳一支双人舞，曲子结束以后双双离开舞池；如果被选出来的是名男孩，那么他会从舞池外等待的人中邀请一位女孩和一位男孩入场跳一支三人舞，舞曲结束后三人均留在舞池内．如果舞池里只上两个男孩则舞会结束．

1、这场舞会永远也不会结束的概率是多少？

2、舞会的组织者决定颠倒舞会的规则，在每一轮中如果被选出来的是名女孩，那么她会邀请舞池外等待的人中的一名女孩和一名男孩跳一支三人舞，舞曲结束后三人均留在舞池内；如果被选出来的是名男孩，那么他会邀请一位舞池内的女孩跳一支双人舞，曲子结束后双双离场．舞会仍然在舞池里只剩两个男孩时结束．在新的规则下，该舞会终止时跳舞的轮数的数学期望是多少？

『28901287』求证：${\rm e}^x>x^2+\ln x+1+\ln 2$．