Math173

方程 $18x+4y+9z=2021$ 的正整数解的组数为_______．

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已知 $f(x)={\log_2}x$，$g(x)=\dfrac{4+[x]+2-\left[x+|x|-2\right]}4$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则不等式 $0<g(f(x))<1$ 的解集为_______．

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定义 $x*y=\dfrac{x+y}{1+xy}$，则 $(\cdots((2*3)*4)\cdots)*21=$ （       ）

A．$\dfrac 56$

B．$\dfrac 65$

C．$\dfrac{115}{116}$

D．$\dfrac{116}{115}$

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已知 $\omega =\cos\dfrac{\pi}5+{\rm i}\sin\dfrac{\pi}5$，则 $(x-\omega )(x-\omega ^3)(x-\omega ^7)(x-\omega ^9)=$ （       ）

A．$x^4+x^3+x^2+x+1$

B．$x^4-x^3+x^2-x+1$

C．$x^4-x^3-x^2+x+1$

D．$x^4+x^2+x^2-x-1$

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在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 的中点，$\angle CAD=15^\circ$，则 $\angle ABC$ 的最大值为（       ）

A．$120^\circ$

B．$105^\circ$

C．$90^\circ$

D．$60^\circ$

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已知 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 是互不相等的正实数，$x_{i_1},x_{i_2},x_{i_3},x_{i_4}$ 是 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的任意排列，且\[\begin{split} X&=\max\{\min\{x_{i_1},x_{i_2}\},\min\{x_{i_3},x_{i_4}\}\},\\ Y&=\min\{\max\{x_{i_1},x_{i_2}\},\max\{x_{i_3},x_{i_4}\}\},\end{split}\]则 $X>Y$ 的概率为（       ）

A．$\dfrac 12$

B．$\dfrac 13$

C．$\dfrac 14$

D．$\dfrac 16$

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已知四边形 $AEBC$ 内接于圆 $O$，$BC$ 为圆 $O$ 的直径，$ED\parallel BC$ 且与 $AC$ 交于点 $D$，$BE=12$，$DE=DC=14$，则（       ）

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已知点 $A$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左顶点，过点 $P(1,0)$ 作直线 $l$ 与椭圆相交于 $M,N$，$AM,AN$ 分别交直线 $x=1$ 于 $B,C$，则（       ）

A．$|PB|+|PC|$ 为定值

B．$|PB|\cdot |PC|$ 为定值

C．$|PB|+|PC|$ 可能等于 $2$

D．$|PB|\cdot |PC|$ 可能等于 $ 2$

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已知过 $A(-2,3)$ 作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于 $B,C$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆的方程为（       ）

A．$(x+1)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac{13}4$

B．$(x+1)^2+(y-1)^2=\dfrac{13}4$

C．$\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 92$

D．$\left(x+\dfrac 32\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{17}4$

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已知 $f(x)=\sqrt{4+6x-x^2}-2$（$x\in [0,6]$），将 $f(x)$ 的图象绕原点逆时针旋转任意 $\theta$（$\theta\in [0,\alpha]$）角后得到的曲线仍然是某个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为（       ）

A．$\arctan\dfrac 32$

B．$\arctan\dfrac 23$

C．$\dfrac{\pi}4$

D．$\dfrac{\pi}3$

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