已知向量 $\boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3})$，$\boldsymbol{b}=(3, m)$．若向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{6}$，则实数 $m=$（ ）
A．$2 \sqrt{3}$
B．$\sqrt{3}$
C．$0$
D．$-\sqrt{3}$
已知点 $A, B$ 在双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 上，线段 $A B$ 的中点为 $M(3,1)$，则 $|A B|=$ （ ）
A．$\sqrt{2}$
B．$2 \sqrt{2}$
C．$\sqrt{5}$
D．$2 \sqrt{5}$
已知 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}=4 y-3$，则 $\dfrac{\sqrt{3} x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的最大值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$\sqrt{3}$
D．$\sqrt{5}$
有一个国度规定一对夫妻必须有且只能有一个男孩，也就是说，如果第一个孩子是男孩，那么不允许再生；如果第一个孩子是女孩，就可以再生第二个孩子，以此递推．随机进入一个家庭采访第一个遇到的孩子，这个孩子是男孩的概率是_______．
已知椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）过点 $A(0,-2)$，且椭圆四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{5}$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程．
2、设过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$，交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$，直线 $A B, A C$ 分别 交直线 $y=-3$ 于点 $M, N$．若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$，求实数 $k$ 的取值范围．
已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(2-x)=f(2+x)$，且当 $x \in[0,2]$ 时，有\[f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{x}-1,&0 \leqslant x \leqslant 1, \\ x^{2}-4 x+4,&1<x \leqslant 2 .\end{cases}\]若关于 $x$ 的不等式 $m|x| \leqslant f(x)$ 的整数解有且仅有 $9$ 个，则实数 $m$ 的取值范围为（ ）
A．$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$
B．$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{7}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{5}\right]$
C．$\left(\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$
D．$\left[\dfrac{\mathrm{e}-1}{9}, \dfrac{\mathrm{e}-1}{7}\right]$
已知函数 $f(x)=\ln \dfrac{\mathrm{e} x}{2}-a x$，$g(x)=\dfrac{x-4 a}{x}$．
1、求函数 $f(x)$ 的极值点．
2、当 $a>0$ 时，函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 恰有三个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{1}{3} a x^{3}$（$a \in \mathbb{R}$），若函数 $f(x)$ 存在唯一的极小值点，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
在如图所示的五面体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $A D E \perp$ 平面 $A B C D$，$A B=E D=2 E F=2$，$\angle E A D=60^{\circ}$，$M$ 为棱 $F C$ 的中点．
1、证明：$A F\parallel M B D$．
2、求三棱锥 $E-F D B$ 的体积．
已知 $A, B$ 为双曲线 $x^{2}-y^{2}=4$ 上两个不同的点，线段 $A B$ 的中点为 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$，$ O$ 为坐标原 点，则下列判断正确的是（ ）
A．若 $x_{0}=1$，则 $\left|y_{0}\right|>1$
B．若 $y_{0}=0$，则 $x_{0}=0$
C．若 $\angle A O B>\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|<2$
D．若 $\angle A O B<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\left|x_{0}\right|>2$
