每日一题[2511]化齐次联立

已知椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$($a>b>0$)过点 $A(0,-2)$,且椭圆四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{5}$.

1、求椭圆 $E$ 的标准方程.

2、设过点 $P(0,-3)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$,交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B, C$,直线 $A B, A C$ 分别 交直线 $y=-3$ 于点 $M, N$.若 $|P M|+|P N| \leqslant 15$,求实数 $k$ 的取值范围.

解析

1、由椭圆 $E$ 过点 $A(0,-2)$,可得 $b=2$,由椭圆四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{5}$ 可得\[2ab=4\sqrt 5\implies a=\sqrt 5,\]因此椭圆 $E$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}5+\dfrac {y^2}4=1$.

2、设 $l:y=kx-3$,$B(x_1,y_1)$,$C(x_2,y_2)$,$M(m,-3)$,$N(n,-3)$,则由 $M,A,B$ 共线,可得\[\dfrac{(-3)-(-2)}{m-0}=\dfrac{y_1-(-2)}{x_1-0}\implies m=-\dfrac{x_1}{y_1+2},\]类似可得\[n=-\dfrac{x_2}{y_2+2}.\]联立直线 $l$ 与椭圆 $E$,有\[\begin{cases} kx-(y+2)=1,\\ \dfrac{x^2}5+\dfrac{(y+2)^2}4-(y+2)=0,\end{cases}\implies \dfrac{x^2}5+\dfrac{(y+2)^2}{4}-(y+2)\big(kx-(y+2)\big)=0,\]也即\[\dfrac 15\left(\dfrac{x}{y+2}\right)^2-k\cdot \dfrac{x}{y+2}+\dfrac 54=0,\]因此 $mn=\dfrac{25}4$,$m,n$ 同号,$|PM|+|PN|=|m+n|$,题意即\[\begin{cases} \Delta =k^2-1>0,\\ |5k|\leqslant 15,\end{cases}\iff -3\leqslant k<-1\lor 1<k\leqslant 3.\]

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