每日一题[2512]重男轻女

有一个国度规定一对夫妻必须有且只能有一个男孩,也就是说,如果第一个孩子是男孩,那么不允许再生;如果第一个孩子是女孩,就可以再生第二个孩子,以此递推.随机进入一个家庭采访第一个遇到的孩子,这个孩子是男孩的概率是_______.

答案    $\ln 2$.

解析    根据题意,每个家庭生 $n$ 个孩子的概率为 $\dfrac{1}{2^n}$,此时 $1$ 男 $n-1$ 女,因此所求男孩的占比为\[\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1}{2^n}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\cdot 2^n}.\]设 $f(x)=\dfrac{x^n}{n}$,则\[\sum_{n=1}^{+\infty}f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n-1}=\dfrac{1}{1-x},\]其中 $x\in(0,1)$.因此\[\sum_{n=1}^{+\infty}f(x)=\int_0^x\dfrac{1}{1-x}=\ln\dfrac1{1-x},\]取 $x=\dfrac 12$,可得\[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\cdot 2^n}=\ln 2= 0.6931\cdots,\]所以男生的占比约为 $69.3\%$.

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