如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=2$，$A C=5$，$\cos \angle B A C=\dfrac{7}{20}$，$B C, A C$ 边上的两条中线 $A M, B N$ 相交于点 $P$，则 $\angle M P N$ 的余弦值为_______．
已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$），若双曲线不存在以点 $M(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(1, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$
B．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2}, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$
C．$\left[\dfrac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty\right)$
D．$\left[\dfrac{\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$
中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，恰有 $1$ 人选泰山的概率为（ ）
A．$\dfrac{48}{125}$
B．$\dfrac{36}{125}$
C．$\dfrac{2}{5}$
D．$\dfrac{3}{10}$
已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$，函数 $f(x)=x^{a}-a^{x}$（$x>0$）．
1、当 $a=2$ 时，设 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$，求 $f^{\prime}(x)$ 的单调区间．
2、若函数 $y=f(x)$ 佮有两个互异的零点 $m, n$（$m>n>0$）．
① 求实数 $a$ 的取值范围；
② 求证：$m n>{\rm e}^{2}$．
已知动点 $P(x, y)$ 到点 $F(1,0)$ 与到直线 $x=-1$ 的距离相等．
1、求点 $P$ 的轨迹 $L$ 的方程．
2、设 $M\left(x_{0}, y_{0}\right)$（$y_{0} \geqslant 0$）在曲线 $L$ 上，过 $M$ 作两条互相垂直的直线分别交曲线 $L$ 异于 $M$ 的两 点 $A, B$，且 $|M A|=|M B|$，记直线 $M A$ 的斜率为 $k$（$k>0$）．
① 试用 $k$ 的代数式表示 $y_{0}$；
② 求 $\triangle M A B$ 面积 $S$ 的最小值．
已知空间向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 两两的夹角均为 $60^{\circ}$，且 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2$，$|\boldsymbol{c}|=6$．若向量 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ 分别满足 $\boldsymbol{x} \cdot(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=0$ 与 $\boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{c}-8=0$，则 $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$ 的最小值是_______．
已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的焦点 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$（$ c>0 $），过右焦点 $ F_{2} $ 的直线 $ l $ 与圆 $ x^{2}+y^{2}=b^{2} $ 相切于点 $ P $，与椭圆相交于 $ A,B $ 两点，点 $ A $ 在 $ x $ 轴上方，且切点 $ P $ 恰为线段 $ A F_{2} $ 的中点，则椭圆的离心率为_______，直线 $ l$ 的斜率为_______．
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\dfrac{4}{3}$，$a_{n+1}-1=a_{n}^{2}-a_{n}$（$n \in\mathbb N^{*}$），数列 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，则（ ）
A．$1<S_{2021}<2$
B．$2<S_{2021}<3$
C．$3<S_{2021}<4$
D．$4<S_{2021}<5$
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\ln x-1, &x\in[{\rm e},+\infty), \\ a x+b-\ln x, &x\in (0,{\rm e})\end{cases}$ 的最小值为 $0$，${\rm e}$ 为自然对数的底数，则（ ）
A．$\forall a<0$，都有 $b<1-a {\rm e}$
B．$\exists a<0$，使得 $b \leqslant 1$
C．$\forall a \in\left(\dfrac{1}{{\rm e}},+\infty\right)$，都有 $b+\ln (a {\rm e}) \geqslant 0$
D．$\exists a \in\left(0, \dfrac{1}{{\rm e}}\right]$，使得 $b<\ln (2-a {\rm e})$
已知曲线 $C$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=4+|y| \cdot x$，则下面结论中正确的是
（ ）
A．曲线 $C$ 关于直线 $y=x$ 对称
B．曲线 $C$ 的范围是 $|y| \leqslant 2$ 且 $|x| \leqslant 2$
C．曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $2 \sqrt{2}$
D．曲线 $C$ 所围成区域的面积小于 $ 12$
