已知点 $A$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左顶点，过点 $P(1,0)$ 作直线 $l$ 与椭圆相交于 $M,N$，$AM,AN$ 分别交直线 $x=1$ 于 $B,C$，则（ ）
A．$|PB|+|PC|$ 为定值
B．$|PB|\cdot |PC|$ 为定值
C．$|PB|+|PC|$ 可能等于 $2$
D．$|PB|\cdot |PC|$ 可能等于 $ 2$
已知过 $A(-2,3)$ 作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于 $B,C$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆的方程为（ ）
A．$(x+1)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac{13}4$
B．$(x+1)^2+(y-1)^2=\dfrac{13}4$
C．$\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 92$
D．$\left(x+\dfrac 32\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{17}4$
已知 $f(x)=\sqrt{4+6x-x^2}-2$（$x\in [0,6]$），将 $f(x)$ 的图象绕原点逆时针旋转任意 $\theta$（$\theta\in [0,\alpha]$）角后得到的曲线仍然是某个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为（ ）
A．$\arctan\dfrac 32$
B．$\arctan\dfrac 23$
C．$\dfrac{\pi}4$
D．$\dfrac{\pi}3$
已知 $S$ 是集合 $\{1,2,3,\cdots,2021\}$ 的子集，且 $S$ 中的任何两个不同元素之和不是 $5$ 的倍数，则 $S$ 中的元素个数的最大值为（ ）
A．$808$
B．$809$
C．$810$
D．$811$
已知函数 $f(x)=\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x$，$x\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则（ ）
A．$f(x)$ 的最大值为 $\dfrac {23}8$
B．$f(x)$ 的最小值为 $\dfrac {2}5$
C．$f(x)$ 的最大值为 $\dfrac {38}{25}$
D．$f(x)$ 的最小值为 $\dfrac {1}5$
已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，则 $a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}{24}$
B．$\dfrac{\sqrt 3}{18}$
C．$\dfrac{\sqrt 3}{15}$
D．$\dfrac{\sqrt 3}{12}$
已知三棱锥 $D-ABC$ 中，$AC=BC=AD=BD=1$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积的最大值为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 2}{24}$
B．$\dfrac{\sqrt 2}{12}$
C．$\dfrac{2\sqrt 3}{27}$
D．$ \dfrac{\sqrt 3}{9}$
已知正整数 $m,n$ 的最大公约数为 $10!$，最小公倍数为 $50!$，则满足要求的 $(m,n)$ 的组数为（ ）
A．$2^{5}$
B．$2^{10}$
C．$2^{15}$
D．$2^{20}$
已知 $a,b\in (0,180)$ 且 $a,b\in\mathbb N^{\ast}$，则关于 $a,b$ 的方程\[\dfrac{\sin (a+b)^\circ}{\sin a^\circ}=\dfrac{\sin (a+2b)^\circ}{\sin b^\circ}\]的正整数解 $(a,b)$ 的个数是_______．
『28933303』对于一个正整数 $m$，设 $S(m)$ 为其十进制表示下所有数码之和．求证：对任何正整数 $k$，都存在 $n$ 满足 $k\mid n$，且 $S(n)=S(n^2)$．
