每日一题[2397]隐藏性质

已知过 $A(-2,3)$ 作抛物线 $y^2=4x$ 的两条切线,分别交 $y$ 轴于 $B,C$,则 $\triangle ABC$ 的外接圆的方程为(       )

A.$(x+1)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac{13}4$

B.$(x+1)^2+(y-1)^2=\dfrac{13}4$

C.$\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 92$

D.$\left(x+\dfrac 32\right)^2+(y-1)^2=\dfrac{17}4$

答案    C.

解析    因为抛物线上一点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程为$$l:y_0y=2(x+x_0),$$它与 $y$ 轴的交点坐标为 $M'\left(0,\dfrac {2x_0}{y_0}\right)$,从而有$$k_l\cdot k_{M'F}=\dfrac 2{y_0}\cdot\dfrac {\dfrac{2x_0}{y_0}-0}{0-1}=-\dfrac {4x_0}{y_0^2}=-1.$$所以有 $FB\perp l_1$,$FC\perp l_2$,于是 $AF$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的直径.

所求外接圆方程为 $x^2+y^2+x-3y-2=0$,也即 $\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 32\right)^2=\dfrac 92$

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