如图，正六边形 $A B C D E F$ 边长为 $2$、其内部有一个边长为 $1$ 的正方形 $P Q M N$，边 $P Q$ 在正六边形边 $A B$ 上，点 $P$ 与点 $A$ 重合．正方形 $P Q M N$ 沿正六边形 $AB,BC$ 边转动，当点 $P$ 与点 $PC$ 重合时，点 $P$ 形成的轨迹的长度为_______．
已知双曲线 $E: \dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ 与直线 $l: y=k x-3$ 相交于 $A,B$ 两点，$M$ 为线段 $A B$ 的中点．
1、当 $k$ 变化时，求点 $M$ 的轨迹方程．
2、若 $l$ 与双曲线 $E$ 的两条渐近线分别相交于 $C,D$ 两点，问：是否存在实数 $k$，使得 $A,B$ 是线段 $C D$ 的两个三等分点？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由．
如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P D \perp A B$，且 $P D=P B$，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形，$\angle B A D=\dfrac{\pi}{3}$．
1、证明：平面 $P A C \perp A B C D$．
2、若 $P A \perp P C$，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．
设 $a>0$，$A(2 a, 0)$，$B(0,2)$，$O$ 为坐标原点，则以 $O A$ 为弦，且与 $A B$ 相切于点 $A$ 的圆的标准方程为_______；若该圆与以 $O B$ 为直径的圆相交于第一象限内的点 $P$（该点称为直角 $\triangle O A B$ 的 ${\rm Brocard }$ 点），则点 $P$ 横坐标 $x$ 的最大值为_______
如图，已知正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的上、下底面边长 分别为 $2$ 和 $3$，侧棱长为 $1$，点 $P$ 在侧面 $B C C_1 B_1$ 内运动（包含边界），且 $A P$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成角的正切值为 $\sqrt{6}$，则（ ）
A．$C P$ 长度的最小值为 $\sqrt{3}-1$
B．存在点 $P$，使得 $A P \perp B C$
C．存在点 $P$，存在点 $Q \in B_1 C_1$，使得 $A P \parallel A_1 Q$
D．所有满足条件的动线段 $A P$ 形成的曲面面积为 $\dfrac{\sqrt{7}}{3} \pi$
已知函数 $f(x)=x(x-3)^2$，若 $f(a)=f(b)=f(c)$，其中 $a<b<c$，则（ ）
A．$1<a<2$
B．$a+b+c=6$
C．$a+b>2$
D．$a b c$ 的取值范围是 $(0,4)$
已知抛物线 $C: y^2=2 x$ 的准线为 $l$，直线 $x=m y+n$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，$M$ 为 $A B$ 的中点，则（ ）
A．当 $n=\dfrac{1}{2}$ 时，以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相交
B．当 $n=2$ 时，以 $A B$ 为直径的圆经过原点 $O$
C．当 $|A B|=4$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离的最小值为 $2$
D．当 $|A B|=1$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离无最小值
已知函数 $f(x)=2+\ln x$，$g(x)=a \sqrt{x}$，若总存在两条不同的直线与函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 图象均相切，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A．$(0,1)$
B．$(0,2)$
C．$(1,2)$
D．$(1, \mathrm{e})$
函数 $y=2 x^2+b x-c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A, B$，与 $y$ 轴交于点 $C$．圆 $M$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆．
1、证明：圆 $M$ 与 $y$ 轴另一交点为 $D$，证明 $D$ 点唯一并求出该定点．
2、已知 $\triangle ABD$ 的面积为 $\dfrac{5}{4}$ 且 $ b$ 和 $c$ 为正整数，求 $b, c$．
