已知函数 $f(x)=\left(x+\dfrac{1}{x}\right) \ln x$．
1、求证：函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
2、若 $\dfrac{2 f(x)-m}{\mathrm{e}^{m x}} \leqslant m$ 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{m x}+x-x \ln x$（$m \geqslant 0$）．
1、当 $m=1$ 时，求 $f(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的值域．
2、设函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$，讨论 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数．
已知函数 $f(x)=x{\rm e}^x-\dfrac a2x(x+2)-1$（$a\in\mathbb R$）．
1、若 $x=-1$ 为 $f(x)$ 的极小值点，求 $a$ 的取值范围．
2、若 $f(x)$ 有唯一的极值 $-\dfrac{1}{\rm e}-1$，证明：$\forall x\geqslant -1,f(x)+1\geqslant \sin x$．
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)+1}{x+1}+a$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、若 $f(x)$ 只有 $1$ 个零点，求 $a$ 的取值范围．
2、若关于 $x$ 的不等式 $f(x-1)-\mathrm{e}^{x} \geqslant 0$ 有解，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=1-{\rm e}^{x}-x+\sin x+t \ln (1+x)$（$t \in \mathbb{R}$）．
1、当 $t=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．
2、当 $t \geqslant 1$ 时，求证：$f(x)<2+\sqrt{2}+t \ln t$．
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 $(a+b)(\sin A-\sin B)=c(\sin C+\sin B)$，若角 $A$ 的内角平分线 $A D$ 的长为 $2$，则 $4 b+c$ 的最小值为（ ）
A．$10$
B．$12$
C．$16$
D．$18$
已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x+x^{2}-a x$．
1、当 $a=2$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $x>0$ 时，$f(x) \geqslant x \ln x-{\rm e}^{x}$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=a \ln (1+x)-b x$（$a, b \in \mathbb{R}$）在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y+1-2 \ln 2=0$．
1、求实数 $a, b$ 的值．
2、若函数 $g(x)=f(x)+\dfrac{t}{2} x^{2}$（$t \geqslant 1$），试讨论函数 $g(x)$ 的零点个数．
已知函数 $f(x)=x \ln x-3 x$．
1、求 $f(x)$ 的极值．
2、若不等式 $f(x) \geqslant m x^{2}-3 x+\dfrac{2}{m}$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值．
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(a-x)+x+1$．
1、若函数 $f(x)$ 的图象在区间 $[0,1]$ 上存在斜率为零的切线，求实数 $a$ 的取值范围．
2、当 $a=1$ 时，判断函数 $f(x)$ 零点的个数，并说明理由．
