已知函数 $f(x)=a \ln x+(x+1)^2$（$a \neq 0$，$x>0$）．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、对于任意 $x \in[1,+\infty)$ 均有 $f(x)-\dfrac{x^2}{a} \leqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=x^2-a x \ln x+a+1$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、当 $a=1$ 时，求曲线 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．
2、若对于任意的 $x \in[1, \mathrm{e}]$，都有 $f(x)>0$，求实数 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x$，$g(x)=\ln x$．
1、若函数 $h(x)=f(x)+a g(x)$ 存在极小值，求实数 $a$ 的取值范围．
2、若 $m>0$，且 $m^2 x^2 f(x-1)-(x+1) g(x)-m x \geqslant 0$ 对任意 $x>0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=e^{x-a}-a x$（$a \in \mathbb R$）．
1、若函数 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．
2、若对任意的 $x \in[0,+\infty)$，均有 $f(x+1)+\dfrac{a}{2}(x+2) \geqslant \sqrt{x^2+a x+1}$，求 $a$ 的取值范围．
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 的图象为曲线 $C$，函数 $g(x)=\dfrac{1}{2} a x+b$ 的图象为直线 $l$．
1、当 $a=2$，$ b=-3$ 时，求 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的最大值．
2、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的横坐标分别为 $x_1, x_2$，且 $x_1 \neq x_2$，求证：$\left(x_1+x_2\right) g\left(x_1+x_2\right)>2$．
已知函数 $f(x)=x {\rm e}^x-a \ln x-a x$．
1、若 $a={\rm e}$，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若对任意 $x>0$ 恒有不等式 $f(x) \geqslant 1$ 成立，求实数 $a$ 的值．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-x-m x^2, ~x \in(0,+\infty)$．
1、若 $f(x)$ 是增函数，求实数 $m$ 的取值范围．
2、当 $m=1$ 时，求证：$f(x)>\dfrac{1}{4}$．
已知 $f(x)=a x-\ln x$（$a \in \mathbb R$）．
1、若 $a=-1$，求证：$f(x) \geqslant 1-x {\rm e}^x$．
2、求证：$\dfrac{\ln x}{{\rm e}^x}<\dfrac{1}{{\rm e}^2}$．
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{2} a x^2-x$．
1、设 $f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，讨论函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的单调性．
2、当 $a \leqslant 1-\dfrac{1}{\rm e}$ 时，求证：$f(x)+x-\ln (x+1) \geqslant 1$．
设函数 $f(x)=x^{2}+(a-2) x-a \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的极值．
2、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
3、若 $n \in \mathbb{N}^{*}$，证明：$\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{2}{3^{2}}+\dfrac{3}{4^{2}} \cdots+\dfrac{n}{(n+1)^{2}}<\ln (n+1)$．
