Math173

已知红箱内有 $5 $ 个红球、$3$ 个白球，白箱内有 $3$ 个红球、$5$ 个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 $k+1$ 次从与第 $k$ 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，记第 $n$ 次取出的球是红球的概率为 $P_n$，则下列说法正确的是 （       ）

A．$P_2=\dfrac{17}{32}$

B．$P_{n+1}=\dfrac{1}{2} P_n+\dfrac{7}{32}$

C．$P_{n+1}^2-P_{n+1}=P_n P_{n+2}-\dfrac{1}{2}\left(P_n+P_{n+2}\right)$

D．对任意的 $i, j \in \mathbb{N}^{*}$ 且 $1 \leqslant i<j \leqslant n$，$\displaystyle\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(P_i-\frac{1}{2}\right)\left(P_j-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{180}\left(1-4^{-n}\right)\left(1-4^{1-n}\right)$

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在 $3\times 3$ 的网格中，$9$ 个方格中每个位置都染为红色或者蓝色，其中既有 $3$ 个蓝格共线又有 $3$ 个红格共线的不同放置方式有多少种？（       ）

A．$39$

B．$42$

C．$78$

D．$84$

E．$96$

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已知函数 $f(x)=\ln (1+x)+a x \mathrm{e}^{-x}$．

1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程．

2、若 $f(x)$ 在区间 $(-1,0)$，$(0,+\infty)$ 各恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

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已知不等式 $x\ln x-m(x-1)+2x-1>0$ 在 $x\in(1,+\infty)$ 上恒成立，则整数 $m$ 的最大值是______．

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已知函数 $f(x)=a {\rm e}^{2 x}-a{\rm e}^x-x{\rm e}^x$（$a \geqslant 0$，${\rm e}=2.718 \cdots$，${\rm e}$ 为自然对数的底数），

1、若 $f(x) \geqslant 0$ 对于 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立． 求实数 $a$ 的值．

2、证明：$f(x)$ 存在唯一极大值点 $x_0$，且 $\dfrac{\ln 2}{2 \mathrm{e}}+\dfrac{1}{4 \mathrm{e}^2} \leqslant f\left(x_0\right)<\dfrac{1}{4}$．

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已知函数 $f(x)=(x-2) \mathrm{e}^x+a(x-1)^2$．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\left(\dfrac{1}{2} x^2+a x+1\right)$．

1、当 $a \leqslant 1$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．

2、当 $a=0$ 时，证明不等式 $x\big(f(x)+2\big)+1 \geqslant(1+\sin x)^2$ 对任意 $x\geqslant 0$ 恒成立．

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已知 $f(x)=\cos x+m x^2-1$（$x \geqslant 0$）．

1、若 $f(x) \geqslant 0$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

2、证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$\mathrm{e}^x-2 \geqslant \sin x-\cos x$．

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已知函数 $f(x)=x-\dfrac 12\sin x+m\ln x+1$．

1、当 $m=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线的斜率．

2、若存在 $x_1,x_2\in (0,+\infty)$，且当 $x_1\ne x_2$ 时，$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$\dfrac{x_1x_2}{4m^2}<1$．

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