每日一题[2685]朗博函数

已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (x+1)+1}{x+1}+a$($a \in \mathbb{R}$).

1、若 $f(x)$ 只有 $1$ 个零点,求 $a$ 的取值范围.

2、若关于 $x$ 的不等式 $f(x-1)-\mathrm{e}^{x} \geqslant 0$ 有解,求 $a$ 的取值范围.

解析

1、设函数 $g(x)=f(x-1)$,则\[g(x)=\dfrac{\ln x+1}{x}+a,\]于是 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^2},\]于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0+&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty \\ \hline f(x)&-\infty&\nearrow&a+1&\searrow&a\\ \hline \end{array}\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\{-1\}\cup(0,+\infty)$.

2、根据题意,有\[\exists x>0,\dfrac{\ln x+1}{x}+a-{\rm e}^x\geqslant 0,\]也即\[\exists x>0, a\geqslant {\rm e}^x-\dfrac{\ln x+1}{x},\]设右侧函数为 $h(x)$,则其导函数\[h'(x)={\rm e}^x+\dfrac{\ln x}{x^2},\]其二阶导函数\[h''(x)={\rm e}^x+\dfrac{1-2\ln x}{x^3},\]因此 $h'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增,而 $h'(1)={\rm e}>0$,设 $r(x)=x{\rm e}^x$,则\[h'(x)=\dfrac{x{\rm e}^x-\dfrac 1x\ln \dfrac 1x}{x}=\dfrac{r(x)-r\left(\ln\dfrac 1x\right)}{x},\]注意到 $r(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,因此当 $x=\ln \dfrac 1x$ 时,$h'(x)=0$,记该零点为 $m$,则 $h(x)$ 在 $x=m$ 处取得极小值,也为最小值\[h(m)={\rm e}^m-\dfrac{\ln m+1}{m}=\dfrac 1m-\dfrac{-m+1}{m}=1,\]而当 $x\to+\infty$ 时,有 $h(x)\to +\infty$,因此 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$.

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