每日一题[2681]卖友求荣

已知函数 $f(x)=a \ln (1+x)-b x$($a, b \in \mathbb{R}$)在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y+1-2 \ln 2=0$.

1、求实数 $a, b$ 的值.

2、若函数 $g(x)=f(x)+\dfrac{t}{2} x^{2}$($t \geqslant 1$),试讨论函数 $g(x)$ 的零点个数.

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{a}{1+x}-b,\]由函数 $f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $x+2 y+1-2 \ln 2=0$,可得\[\begin{cases} f(1)=\ln 2-1,\\ f'(1)=-\dfrac 12,\end{cases}\iff \begin{cases} a\ln 2-b=\ln 2-1,\\ \dfrac a2-b=-\dfrac 12,\end{cases}\iff \begin{cases} a=1,\\ b=1,\end{cases}\]因此实数 $a=1$,$b=1$.

2、根据题意,有\[g(x)=\ln (1+x)-x+\dfrac t2x^2,\]其导函数\[g'(x)=\dfrac{t}{1+x}\cdot x\left(x+1-\dfrac 1t\right),\]因此

当 $t=1$ 时,$g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增,注意到 $g(0)=0$,因此函数 $g(x)$ 有唯一零点.

当 $t>1$ 时,考虑到当 $x=-1+{\rm e}^{-\frac t2}$ 时,有\[g(x)<\ln(1+x)+\dfrac t2<0,\]而 $g(0)=0$,于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&\left(-1,-1+\dfrac 1t\right)&-1+\dfrac 1t&\left(-1+\dfrac 1t,0\right)&0&(0,+\infty)\\ \hline f(x)&\nearrow&\dfrac{t^2-1}{2t}-\ln t&\searrow&0&\nearrow \\ \hline \end{array}\]因此函数 $g(x)$ 在区间 $\left(-1,-1+\dfrac 1t\right)$ 内有唯一零点,在其余部分有唯一零点 $x=0$,因此函数 $g(x)$ 共有 $2$ 个零点.

综上所述,函数 $g(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 1,&t=1,\\ 2,&t>1.\end{cases}$

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