每日一题[2682]分离变量

已知函数 $f(x)=(x-1) \ln x+x^{2}-a x$.

1、当 $a=2$ 时,讨论 $f(x)$ 的单调性.

2、当 $x>0$ 时,$f(x) \geqslant x \ln x-{\rm e}^{x}$,求实数 $a$ 的取值范围.

解析

1、当 $a=2$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\ln x-\dfrac 1x+2x-1,\]注意到 $f'(1)=0$,且 $f'(x)$ 为单调递增函数,于是 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,在 $(1,+\infty)$ 上单调递增.

2、根据题意,有\[\forall x>0,a\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-\ln x+x^2}{x},\]设右侧函数为 $g(x)$,则其导函数\[g'(x)=\dfrac{(x-1){\rm e}^x+x^2-1+\ln x}{x^2},\]设分子函数为 $h(x)$,则其导函数\[h'(x)=x{\rm e}^x+2x+\dfrac 1x>0,\]于是 $h(x)$ 单调递增,结合 $h(1)=0$ 可得函数 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,在 $(1,+\infty)$ 上单调递增,在 $x=1$ 时取得最大值\[g(1)={\rm e}+1,\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, {\rm e}+1]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论