每日一题[2683]韦达定理

在 $\triangle A B C$ 中,角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$,已知 $(a+b)(\sin A-\sin B)=c(\sin C+\sin B)$,若角 $A$ 的内角平分线 $A D$ 的长为 $2$,则 $4 b+c$ 的最小值为(       )

A.$10$

B.$12$

C.$16$

D.$18$

答案    D.

解析    根据正弦定理,有\[(a+b)(a-b)=c(c+b)\iff \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\dfrac 12,\]于是由余弦定理可得 $A=120^\circ$.设 $CD=bt$,$BD=ct$,则在 $\triangle ADC$ 和 $\triangle ABD$ 中分别应用余弦定理可得\[\begin{cases} (bt)^2=b^2+4-2b,\\ (ct)^2=c^2+4-2c,\end{cases}\]于是 $b,c$ 是关于 $x$ 的方程\[t^2x^2=x^2+4-2x\]的两根,因此\[\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{2}{4}\iff \dfrac 1b+\dfrac 1c=\dfrac 12,\]从而\[4b+c\geqslant \dfrac{(2+1)^2}{\dfrac 1b+\dfrac 1c}=18,\]等号当 $b:c=1:2$ 时取得,因此所求最小值为 $18$.

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每日一题[2683]韦达定理》有1条回应

  1. yuanhongyi说:

    也可以用面积法寻找bc关系

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