每日一题[2687]同构函数

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{m x}+x-x \ln x$($m \geqslant 0$).

1、当 $m=1$ 时,求 $f(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的值域.

2、设函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$,讨论 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数.

解析

1、当 $m=1$ 时,函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-\ln x,\]而\[{\rm e}^x\geqslant x+1>x-1\geqslant \ln x,\]于是函数 $f(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上单调递增,因此 $f(x)$ 在 $[1,{\rm e}]$ 上的值域为 $[f(1),f({\rm e})]$,即 $\left[{\rm e}+1,{\rm e}^{\rm e}\right]$.

2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=m{\rm e}^{mx}-\ln x=\dfrac{mx{\rm e}^{mx}-x\ln x}{x}=\dfrac{g(mx)-g(\ln x)}{x},\]其中 $g(x)=x{\rm e}^x$.

当 $x\in(0,1]$ 时,有\[f'(x)>m{\rm e}^{mx}>0,\]因此 $f'(x)$ 在此区间上不存在零点.

当 $x>1$ 时,有 $mx,\ln x\in (0,+\infty)$,而 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,于是\[f'(x)=0\iff mx=\ln x\iff m=\dfrac{\ln x}{x},\]设 $h(x)=\dfrac{\ln x}{x}$,则其导函数\[h'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x},\]于是\[\begin{array}{c|ccccc}\hline x&0+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]注意到 $h(1)=0$,于是当 $m=0$ 或 $m=\dfrac{1}{\rm e}$ 时,$f'(x)$ 有 $1$ 个零点;当 $m\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 时,$f'(x)$ 有 $2$ 个零点;当 $m\in \left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$ 时,$f'(x)$ 没有零点.

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