用连续函数的介值定理证明：
对平面上任何一个封闭区域，都存在两条相互垂直的直线将其面积四等分．
2014年大纲卷压轴题
函数\(f(x)=\ln(x+1)-\dfrac {ax}{x+a}(a>1)\)．
(1) 讨论\(f(x)\)的单调性；
(2) 设\(a_1=1,a_{n+1}=\ln (a_n+1)\)，证明：\(\dfrac 2{n+2}< a_n <\dfrac 3{n+2}.\)
贝叶斯公式
原文地址：http://www.matrix67.com/blog/archives/2517
昨夜，M同学牵着女朋友的手走出宿舍楼，整夜没有回来；直到今天早晨，大家才见他支着腰回到寝室，样子十分疲惫．我们几个好友似乎已经心领神会，于是一行人走上前去，带着淫邪的笑容拷问他：昨晚干啥了，那么疲惫？本以为M同学会支支吾吾答不上话来，殊不知他义正严词地答道：我和女朋友去看通宵电影去了．几个人不服气，问他，那电影票呢？谁知他说了一句“忘了放哪儿了”后，还真煞有其事地在包里翻来翻去．一群人大笑着说，唉呀，你就别装了吧．两分钟后，我们全都傻了眼——M同学还真摸出两张电影票．一哥们儿猛地拍了一下M同学的肩膀说，唉呀，为了骗过我们真是煞费苦心啊，居然到影院门口找散场观众买了两张票根！
一道叙述有误的模拟题
这是2013年昌平区二模的压轴题：
如果函数\(y=f(x)\)的定义域为\(\bf R\)，对于定义域内的任意\(x\)，存在实数\(a\)使得\(f(x+a)=f(-x)\)成立，则称此函数具有“\(P(a)\)性质”．
(1) 判断函数\(y=\sin x\)是否具有“\(P(a)\)性质”，若具有“\(P(a)\)性质”，求出所有的\(a\)的值；若不具有“\(P(a)\)性质”，请说明理由；
(2) 设函数\(y=g(x)\)具有“\(P(\pm 1)\)性质”，且当\(-\dfrac 12\leqslant x \leqslant \dfrac 12\)时，\(g(x)=|x|\)．若\(y=g(x)\)与\(y=mx\)的交点个数为\(2013\)，求\(m\)的值．
2014年四川卷压轴题
2014年高考四川卷理科数学第21题、文科数学第21题（压轴题）：
已知函数 \(f(x)={\rm e}^x-ax^2-bx-1\)，其中\(a,b\in \bf R\)，\({\rm e}=2.71828\cdots\)为自然对数的底．
（1）设\(g(x)\)是函数\(f(x)\)的导函数，求函数\(g(x)\)在区间\([0,1]\)上的最小值；
（2）若\(f(1)=0\)，函数\(f(x)\)在区间\((0,1)\)内有零点，求\(a\)的取值范围．
一道共线向量的题
已知\(\vec a,\vec b,\vec c\)两两均不共线，\(\vec a + \vec b \parallel \vec c\)，\(\vec b +\vec c\parallel \vec a\)，求证：\(\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0\)．
2014年新课标II卷理科数学压轴题
2014年高考新课标II卷理科数学第21题（压轴题）：
已知函数\(f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x\)．
（1）讨论\(f(x)\)的单调性；
（2）设\(g(x)=f(2x)-4bf(x)\)，当\(x>0\)时，\(g(x)>0\)，求\(b\)的最大值；
（3）已知\(1.4142<\sqrt 2<1.4143\)，估计\(\ln 2\)的近似值（精确到\(0.001\)）．
一道函数不等式
已知\(x\in \left(0,\dfrac \pi 2\right)\)，求证：\(\sin {\sqrt x}<\sqrt {\sin x}\)．
2014年华中科技大学理科实验班选拔试题—数学
一、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）
1、设\(f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)，则\(n\)重复合函数\(f_n(x)=f(f(\cdots f(x)\cdots))=\)_______．
2、设多项式\(p(x)\)满足\(p\left(x^2+1\right)=\left(p(x)\right)^2+1\)和\(p(0)=0\)，则\(p(x)=\)_______.
3、设\(S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{6^k}{\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)\left(3^k-2^k\right)}\)，则极限\(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\)_______.
4、对\(x>0\)，函数\(f(x)=\dfrac{\left(x+\dfrac1x\right)^6-\left(x^6+\dfrac1{x^6}\right)-2}{\left(x+\dfrac1x\right)^3+\left(x^3+\dfrac1{x^3}\right)}\)的最小值为_______．
5、假设\(20\)名学生中的每一名学生可从提供的六门课程中选学一门至六门，也可以一门都不选．试判断下列命题是否正确：存在\(5\)名学生和两门课程，使得这\(5\)名学生都选了这两门课，或者都没选，选填“正确”或“否”_______．
二、（本题共14分）
1、若\(a\)为正整数而\(\sqrt a\)不为整数，证明：\(\sqrt a\)为无理数.
2、试证：除\(0,0,0\)外，没有其他整数\(m,n,p\)使得\[m+n\sqrt2+p\sqrt3=0.\] 三、（本题共16分） 设\(a,b,c\)为三角形三边之长，\(p=\dfrac{a+b+c}2\),\(r\)为内切圆半径，证明：\[\dfrac1{(p-a)^2}+\dfrac1{(p-b)^2}+\dfrac1{(p-c)^2}\geqslant\dfrac1{r^2}.\]
四、（本题共12分） 证明：设\(m\)是任一正整数，则\(a_m=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\cdots+\dfrac1{2^m}\)不是整数．
五、（本题共18分） 下图是2013年恒大足球俱乐部策划的主场与首尔FC足球队的亚冠决赛海报，左边是恒大队，右边是首尔队，该海报的寓意是什么？要求简单推导海报中两个数学式子的结果．一个数学式子是\(\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}\)(拉马努金式子)，另一个是\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}+1\)(已知欧拉公式\(\mathrm e^{\pi \mathrm i}=\cos\alpha+\mathrm i\sin\alpha\))． 
参考答案
一、填空题
1、\(\dfrac{x}{\sqrt{1+nx^2}}\)．
2、\(x\) 提示 方程\(p(x)-x=0\)有无数个零点，于是\(p(x)=x\)．
3、\(2\) 提示 裂项为\(\dfrac{2^k}{3^k-2^k}-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}\)．
4、\(6\) 提示 函数\(f(x)=3\left(x+\dfrac 1x\right)\)．
5、否 提示 \(6\)门课中选\(3\)门共有\({\rm C}_6^3=20\)种不同的组合，让每个同学分别选一种组合，那么任何两门课同时选和同时不选的同学数均为\(4\)．
二、略
提示 均用反证法．
三、略
提示 \(pr=S\)，而\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)．
四、略
提示 设右边的公分母为\[\left[2,3,4,\cdots,2^m\right]=2^m\cdot p,\]其中\(p\)是一个奇数，两边同时乘以公分母，则左边是偶数，而右边为奇数．
注一 利用这个方法可以证明\(\sum\limits_{i=1}^n{\dfrac 1i}\)，其中\(n\in\mathcal N^*\)且\(n\geqslant 2\)均不是整数．另外，这个方法中从\(2\)的方幂出发也不是必须的．
注二 也可以两边同时乘以\(\dfrac{[2,3,\cdots,2^m]}p\)，其中\(p\)为右边各分母分解质因数后的最大奇素数因子，根据伯特兰-切比雪夫定理，含\(p\)的项唯一，进而即得．
五、\(3:0\)
提示 拉马努金恒等式，注意到\[n=\sqrt{1+(n-1)(n+1)},\]于是\[\begin{split}3&=\sqrt{1+2\cdot 4}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot 5}}\\&=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot 6}}}\\&=\cdots\end{split}.\]