2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #18
已知点 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，动点 $T$ 满足 $\left|TF_1\right|+\left|TF_2\right|=4$，动点 $T$ 的轨迹记为 $C$．
1、求 $C$ 的方程：
2、直线 $l: x=4$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，$B$ 为 $l$ 上的动点，过 $B$ 作 $C$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于点 $P,Q$．
① 证明：直线 $BP,BF_2,BQ$ 的斜率成等差数列：
② 圆 $N$ 经过 $B,P,Q$ 三点，是否存在点 $B$，使得 $\angle PNQ=90^{\circ}$？若存在，求 $|BM|$；若不存在，请说明理由．
解析
1、根据椭圆的定义以及标准方程，所求 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．
2、① 设 $B(4,t)$，切点分别为 $D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$，则切点弦 $DE:x+\frac{ty}3=1$ 过点 $F_2(1,0)$，设 $\overrightarrow{F_2D}=\lambda\overrightarrow{F_2E}$，则\[\lambda =\dfrac{x_1-1}{x_2-1}=\dfrac{y_1}{y_2}=-\dfrac{x_1-4}{x_2-4},\]欲证明结论为\[\frac{y_1-t}{x_1-4}+\dfrac{y_2-t}{x_2-4}=\dfrac {2t}3,\]而\[\frac{y_1}{x_1-4}+\frac{y_2}{x_2-4}=0,\]且\[\dfrac{x_1-1}{x_1-4}+\dfrac{x_2-1}{x_2-4}=0\implies \dfrac{1}{x_1-4}+\dfrac{1}{x_2-4}=-\frac 23,\]因此命题得证．
② 根据题意，$\angle PNQ=90^\circ$ 即 $\angle DBE=45^\circ$，设切线方程为 $y=k(x-4)+t$，即 $kx-y+(-4k+t)=0$，则根据等效判别式，有\[4k^2+3-(-4k+t)^2=0\iff 12k^2-8tk+(t^2-3)=0,\]设该方程的两根分别为 $k_1,k_2$，则\[\angle DBE=45^\circ\implies \left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=1\implies \left|\dfrac{\sqrt{64t^2-48(t^2-3)}}{12+(t^2-3)}\right|=1\iff t^2=7,\]因此 存在点 $B$ 符合题意，且 $|BM|=\sqrt 7$．