任意封闭图形的四等分

用连续函数的介值定理证明：

对平面上任何一个封闭区域，都存在两条相互垂直的直线将其面积四等分．

先思考一个简单的问题：

对平面上任何一个封闭区域，在任意方向上都存在直线将其面积等分．

         如下图两种连续移动都可以满足介值定理的前提（考虑直线两侧面积之差）．

        如下图，通过平行移动的方式很容易证明，在任意一个方向上都可以先找到一条直线\(a\)使之平分封闭区域的面积，然后可以找到垂直于直线\(a\)的另一条直线\(b\)也可以平分封闭区域的面积．请注意，此时我们得到的仅为\(I+II=III+IV=I+IV=II+III\)，也即\(I=III,II=IV\)．若\(I=II\)，则命题得证；否则不妨设\(I<II\)．

         接下来，我们逆时针调整直线\(a\)的方向，直到\(a\to b\)，\(b\to a\)，如下图．

        在这个调整过程中，\(I \to II\)，\(II \to I\)，于是根据介值定理，必然存在某一时刻\(I=II\)．因此原命题得证．