任意封闭图形的四等分

用连续函数的介值定理证明:


对平面上任何一个封闭区域,都存在两条相互垂直的直线将其面积四等分.


先思考一个简单的问题:

对平面上任何一个封闭区域,在任意方向上都存在直线将其面积等分.

         如下图两种连续移动都可以满足介值定理的前提(考虑直线两侧面积之差).

QQ20141014-8

        如下图,通过平行移动的方式很容易证明,在任意一个方向上都可以先找到一条直线\(a\)使之平分封闭区域的面积,然后可以找到垂直于直线\(a\)的另一条直线\(b\)也可以平分封闭区域的面积.请注意,此时我们得到的仅为\(I+II=III+IV=I+IV=II+III\),也即\(I=III,II=IV\).若\(I=II\),则命题得证;否则不妨设\(I<II\).

QQ20141014-9

         接下来,我们逆时针调整直线\(a\)的方向,直到\(a\to b\),\(b\to a\),如下图.

QQ20141014-10

        在这个调整过程中,\(I \to II\),\(II \to I\),于是根据介值定理,必然存在某一时刻\(I=II\).因此原命题得证.

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