2014年大纲卷压轴题

函数\(f(x)=\ln(x+1)-\dfrac {ax}{x+a}(a>1)\).

(1) 讨论\(f(x)\)的单调性;

(2) 设\(a_1=1,a_{n+1}=\ln (a_n+1)\),证明:\(\dfrac 2{n+2}< a_n <\dfrac 3{n+2}.\)


(1) 由题有\[f'(x)=\dfrac {x(x+2a-a^2)}{(x+1)(x+a)^2}.\]于是

i) 当\(1<a<2\) 时,函数\(f(x)\)在\((-1,a^2-2a)\)上单调递增,在\((a^2-2a,0)\)上单调递减,在\((0,+\infty)\)上单调递增;

ii)当\(a=2\)时,函数\(f(x)\)在\((-1,+\infty)\)上单调递增;

iii) 当\(a>2\) 时,函数\(f(x)\)在\((-1,0)\)上单调递增,在\((0,a^2-2a)\)上单调递减,在\((a^2-2a,+\infty)\)上单调递增.

(2) 用数学归纳法证明.

归纳基础显然成立;

设\(\dfrac 2{n+2}<a_n\leqslant \dfrac 3{n+2}\),则需要证明

\[\dfrac 2{n+3}<\ln (a_n+1) \leqslant \dfrac 3{n+3}.\]

由于\(\ln \left(1+\dfrac 2{n+2}\right)<\ln (a_n+1)\leqslant \ln \left(1+\dfrac 3{n+2}\right)\),因此只需要证明

\[\dfrac 2{n+3}<\ln \left(1+\dfrac 2{n+2}\right), \\\ln \left(1+\dfrac 3{n+2}\right)\leqslant \dfrac 3{n+3}.\]

分别令\(x_1=\dfrac 2{n+2}\),\(x_2=\dfrac 3{n+2}\),则欲证不等式可由

\[\ln(1+x_1)-\dfrac {2x}{x+2}>0, \\\ln(1+x_2)-\dfrac {3x}{x+3}<0.\]

得出.事实上,根据第一小问的结果,分别取\(a=2,3\)即得.

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