贝叶斯公式

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        昨夜,M同学牵着女朋友的手走出宿舍楼,整夜没有回来;直到今天早晨,大家才见他支着腰回到寝室,样子十分疲惫.我们几个好友似乎已经心领神会,于是一行人走上前去,带着淫邪的笑容拷问他:昨晚干啥了,那么疲惫?本以为M同学会支支吾吾答不上话来,殊不知他义正严词地答道:我和女朋友去看通宵电影去了.几个人不服气,问他,那电影票呢?谁知他说了一句“忘了放哪儿了”后,还真煞有其事地在包里翻来翻去.一群人大笑着说,唉呀,你就别装了吧.两分钟后,我们全都傻了眼——M同学还真摸出两张电影票.一哥们儿猛地拍了一下M同学的肩膀说,唉呀,为了骗过我们真是煞费苦心啊,居然到影院门口找散场观众买了两张票根!

        笑过之后,我突然开始想,假如M同学为了掩饰自己的恶劣行径,真的准备好了伪证的话,他的演技可不是一般的高明.试着想象以下两个画面:

1. 几个人不服气,问他,那电影票呢?M同学不急不慢地从口袋里掏出两张电影票说,在这儿呢.
2. 几个人不服气,问他,那电影票呢?M同学假装到处寻找电影票,过了两分钟才翻出来.

        显然,第二种做法更令人相信,他真的跑去看通宵电影去了.事实上,M同学还能做得更好:

3. 几个人不服气,问他,那电影票呢?M同学条件反射式地说,电影票早就扔了.我们继续追问,不会吧,跟女朋友的电影票就这样扔了,不是你的作风啊.M同学继续狡辩,电影票真没了,是不小心被搞丢的……半个小时后,M同学终于(装作)妥协了,说,那你们看了电影票不要笑我哦.于是,他(假装)不好意思地交出电影票.我们接过来一看,然后指着他大笑:你居然和女朋友一起去看见过大爷?!还是爱国电影通宵连映?!

        这个效果绝对一流,估计我们几乎百分之百地会相信他是真的去看电影去了.事实上,很多电影和小说中也有类似的情节,比如《达芬奇密码》中爵士以隐私权为由拒绝警方进入飞机搜查,而事实上警方强行进入后却发现飞机里根本没有别人.爵士事先让大伙儿撤离飞机,并在警方要求搜查飞机时故意造成飞机里还有别人的假象,这样为什么就会让人更加相信爵士反而没有隐瞒什么呢?有趣的是,从概率论的角度来说,这个直觉思维有一个很具有启发性的科学解释.

        在概率论中,在知道事件\(B\)已经发生的情况下,事件\(A\)发生的概率就记作\(P(A|B)\),它应该等于\(\dfrac {P(A\cap B)}{P(B)}\).例如,投掷一颗骰子,如果已经知道它的点数不超过\(3\),那么这个点数是奇数的概率就应该等于\(\dfrac 26\)除以\(\dfrac 36\),即\(\dfrac 23\).而上述公式中的 \(P(A\cap B)\)又可以等于\(P(B|A)\cdot P(A)\),因此我们得到公式\[P(A|B) = P(B|A)\cdot \dfrac {P(A)}{P(B)}.\]

        这个公式叫做Bayes定理,它的直观意义就是,当你获知了一个新的信息后,你对原事件的看法有什么改变.若令事件\(A\)等于“M同学去开房”,事件\(B\)等于“M同学有电影票”,让我们来看看公式中的各个概率的意义:

\(P(A)\):M同学昨晚去开房了的概率
\(P(B)\):M同学手中有电影票的概率
\(P(A|B)\):M同学手中的电影票被发现后,他昨晚去开房了的概率
\(P(B|A)\):如果昨晚M同学真的去开房了,他手中会有电影票的概率

        其中\(P(A|B)\)就是当事人提供了新的证据之后人们对原事件发生概率的看法.利用Bayes定理\(P(A|B) = P(B|A)\cdot \dfrac {P(A)}{P(B)}\),我们发现,\(P(A|B)\)与\(P(A)\)和\(P(B|A)\)成正比,与\(P(B)\)成反比.因此,为了让人们相信事件\(A\)没有发生,作为伪证的事件\(B\)一定要具有这样的性质:它本来很可能发生,但伴随着事件\(A\)一起发生就很不可思议了.通宵电影票就具有这样的性质:有一张通宵电影票根并不罕见,罕见的就是昨晚开了房之后还有一张通宵电影票.为了充分利用这个伪证,让\(P(A|B)\)变得更低,我们可以从以下三个角度入手:

减小\(P(B|A)\):不要轻易拿出证据(前文所说的策略).故意做出没法给出证据的样子,让人越来越坚信在事件\(A\)发生后还能给出证据\(B\)的概率有多么小.

增加\(P(B)\):平时做好铺垫工作.长期保存电影票根,经常提起自己保留纪念物的喜好,让人们相信证据本身的存在并不是什么怪事.

减小\(P(A)\):不要长得那么猥琐.努力提高自己在别人心目中的人品.去整形医院改头换面,让自己的面容端庄善良、和蔼可亲,不致于让人一看见你就说你怎么看上去那么淫荡是不是昨晚又没干好事.

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