2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #19
已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x\left(\mathrm e^{a x}+a\right)+\ln x-1$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性：
2、若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．
① 求 $a$ 的取值范围：
② 若 $x_1\cdot x_2^m>\mathrm e^{m+1}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．
解析
1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\mathrm e^{ax}+a+ax\mathrm e^{ax}+\dfrac 1x=\dfrac{\left(x\mathrm e^{ax}+1\right)(ax+1)}{x},\]于是当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,-\frac 1a\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\frac 1a,+\infty\right)$ 上单调递增．
2、① 关于 $x$ 的方程 $f(x)=0$ 即\[\mathrm e^{ax+\ln x}+(ax+\ln x)-1=0\iff ax+\ln x=0\iff -a=\dfrac{\ln x}{x},\]设等式右侧为函数 $g(x)$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0&(0,1)&1&(1,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&-\infty&\nearrow&\frac{1}{\mathrm e}&\searrow&0\\ \hline\end{array}\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\frac{1}{\mathrm e},0\right)$．
② 根据题意，有 $0<x_1<\mathrm e<x_2$，设 $\dfrac{x_1}{x_2}=t$（$0<t<1$），则有\[\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}=-a\implies -a=\dfrac{\ln t}{x_1-x_2},\]于是题中不等式即\[-a(x_1+mx_2)>m+1\iff \dfrac{t+m}{t-1}\ln t>m+1,\]当 $t\to 0$ 时，有 $\frac{\ln t}{t-1}\to +\infty$，于是 $m\geqslant 0$（否则不等式左侧趋于 $-\infty$），进而有\[\forall t\in (0,1),\ln t-\dfrac{(m+1)(t-1)}{t+m}<0,\]设不等式左侧为函数 $h(t)$，则 $h(1)=0$，其导函数\[h'(t)=\dfrac{(m^2-t)(1-t)}{t(m+t)^2}.\]
情形一 $m\geqslant 1$．此时 $h(t)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，结合 $h(1)=0$，符合题意．
情形二 $0<m<1$．此时 $h(t)$ 在 $(m,1)$ 上单调递减，结合 $h(1)=0$，不符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．