一道叙述有误的模拟题

这是2013年昌平区二模的压轴题:

如果函数\(y=f(x)\)的定义域为\(\bf R\),对于定义域内的任意\(x\),存在实数\(a\)使得\(f(x+a)=f(-x)\)成立,则称此函数具有“\(P(a)\)性质”.

(1) 判断函数\(y=\sin x\)是否具有“\(P(a)\)性质”,若具有“\(P(a)\)性质”,求出所有的\(a\)的值;若不具有“\(P(a)\)性质”,请说明理由;

(2) 设函数\(y=g(x)\)具有“\(P(\pm 1)\)性质”,且当\(-\dfrac 12\leqslant x \leqslant \dfrac 12\)时,\(g(x)=|x|\).若\(y=g(x)\)与\(y=mx\)的交点个数为\(2013\),求\(m\)的值.


按照题目的叙述“对于定义域内的任意\(x\),存在实数\(a\)…”,说明当\(x\) 变化时,实数\(a\)是有随之变化的余地的,然而引入“\(P(a)\)性质”这一说法,又使得\(a\)不再具有变化的空间.这样的话,不如直接叙述为“\(a\)为实常数,对于定义域内的任意\(x\)…”来的简单自然.

问题到这里还算不上是错误,关键在于第二问.第二问中 \(\pm 1\),也就是\(1\)或\(-1\),使得\(a\)有了变化的可能,结合题干中对“\(P(a)\)性质”的描述会使得问题变得极为复杂.换句话说,对于定义域内的\(x\),只要\(g(x+1)=g(-x)\)和\(g(x-1)=g(-x)\)中有至少一个成立即可.然而参考答案中认为\(g(x+1)=g(-x)\)和\(g(x-1)=g(-x)\)两者都是对任意定义域内的\(x\)恒成立的.那么按照参考答案的说法,应该将题目条件改为“设函数\(y=g(x)\)具有\(P(1)\)性质和\(P(-1)\)性质”.

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