Math173

 1、已知函数\(f(x)=\begin{cases}\ln x,&x\geqslant 1,\\\dfrac{1}{\mathrm e}(x+2)(x-a),&x<1\end{cases}\)的图象（其中\(a\)为常数，\(\rm e\)为自然对数的底数）在\(A({\rm e},1)\)处的切线与该函数的图象恰好有三个交点，则实数\(a\)的取值范围是_______．

2、已知函数\(f(x)=x^2+{\rm e}^x-\dfrac 12\)，\(x<0\)与\(g(x)=x^2+\ln{(x+a)}\)的图象存在关于\(y\)轴对称的两点，则\(a\)的取值范围是_______．

3、某马拉松运动员用了\(2.2\)h跑完比赛的\(42.195\)km全程（到终点停止），则对giant运动员在整个赛程中用\(19\)km/h速度跑的时刻个数判断一定正确的是（       ）

A．至多1个

B．至少2个

C．至多3个

D．无数个

4、在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知向量\(\overrightarrow a\)和\(\overrightarrow b\)满足：\(\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=1\)，\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0\)，点\(Q\)满足\(\overrightarrow{OQ}=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\)，曲线\(C:\left\{P\left|\overrightarrow{OP}=\overrightarrow a\cos\theta+\overrightarrow b\sin\theta,0\leqslant\theta <2\pi\right.\right\}\)，区域\(\Omega=\left\{P\left|0<r\leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right|\leqslant R,r<R\right.\right\}\)．若\(C\cap\Omega\)为两段分离的曲线，则（       ）

A．\(1<r<R<3\)

B．\(1<r<3\leqslant R\)

C．\(r\leqslant 1<R<3\)

D．\(1<r<3<R\)

5、已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(M\)为线段\(D_1B_1\)上的点，点\(N\)为线段\(AC\)上的点，记\(MN\)与平面\(ABB_1A_1\)所成角为\(\theta\)，那么当\(MN\)与线段\(DB_1\)相交时，\(\tan\theta\)的最大值是_______．

6、已知\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆\(C_1:\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1\)（\(a>b>0\)）的上下焦点，\(F_1\)是抛物线\(C_2:x^2=4y\)的焦点，点\(M\)是\(C_1\)与\(C_2\)在第二象限的交点，且\(MF_1=\dfrac{5}{3}\)．

（1）试求椭圆\(C_1\)的方程；

（2）与圆\(x^2+(y+1)^2=1\)相切的直线\(l:y=k(x+t)\)）交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，若椭圆上一点\(P\)满足\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OP}\)，求实数\(\lambda\)的取值范围．

7、若集合\(A\)具有以下性质：

① \(o\in A\)，\(1\in A\)；

② 若\(x,y\in A\)，则\(x-y\in A\)；

③ 若\(x\neq 0\)，\(x\in A\)，则\(\dfrac 1x\in A\)．

则称集合\(A\)为“好集”．

（1）若集合\(A\)为“好集”，求证：若\(x,y\in A\)，则\(x+y\in A\)；

（2）若集合\(A\)为“好集”，求证：若\(x,y\in A\)，则\(xy\in A\)．

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1、设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)．如果存在非零常数\(T\)，对任意\(x\in D\)，都有\(f(x+T)=T\cdot f(x)\)，则称函数\(y=f(x)\)是“似周期函数”．非零常数\(T\)为函数\(y=f(x)\)的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

① 如果“似周期函数”\(y=f(x)\)的“似周期”为\(-1\)，那么它是以\(2\)为周期的周期函数；

② 函数\(f(x)=x\)是“似周期函数”；

③ 函数\(f(x)=2^{-x}\)是“似周期函数”；

④ 如果函数\(f(x)=\cos{2\omega x}\)是“似周期函数”，那么\(\omega =k\pi,k\in\mathcal Z\)．

其中，真命题的序号是_______．

2、已知圆\(C\)的圆心\(C\)在抛物线\(x^2=4y\)上移动且过\(A(0,2)\)．若圆\(C\)与\(x\)轴交于\(M\)、\(N\)两点，当\(\dfrac{AM}{AN}+\dfrac{AN}{AM}\)取最大值时，圆\(C\)的方程为_______．

3、已知自然数\(a,b,c,d,e\)满足\(1\leqslant a<b<c<d<e\leqslant 100\)，则\(a+\dfrac bc+\dfrac de\)取得最小值时，\(a+b+c+d+e=\)_______．

4、在直角三角形\(ABC\)中，\(C\)为直角，\(AC=3\)，\(BC=4\)，线段\(EF\)的端点\(E\)、\(F\)分别在边\(BC\)和\(BA\)上，且分三角形\(ABC\)为面积相等的两个部分，则线段\(EF\)长度的最小值为_______．

5、已知三个正数\(a,b,c\)满足\(a\leqslant b+c\leqslant 3a\)，\(3b^2\leqslant a(a+c)\leqslant 5b^2\)，则\(\dfrac{b-2c}{a}\)的最小值是_______．

6、已知\(a,b\)为正实数，且\(a+b=2\)，则\(\dfrac{a^2+2}a+\dfrac{b^2}{b+1}\)的最小值为_______．

7、已知函数\(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x-1}\)，\(g(x)=\dfrac{k}{x}\)（\(k\in \mathcal N^*\)），若对任意的\(c>1\)，存在实数满足\(0<a<b<c\)，使得\(f(c)=f(a)=g(b)\)，则\(k\)的最大值为_______．

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1、过抛物线\(x^2=2py\)（\(p>0\)）的焦点作斜率为\(1\)的直线与该抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，\(A\)、\(B\)在\(x\)轴上的正投影分别为\(D\)、\(C\)，若梯形\(ABCD\)的面积为\(12\sqrt 2\)，则\(p=\)_______．

 2、方程\(ay=b^2x^2+c\)中的\(a,b,c\in\left\{-3,-2,0,1,2,3\right\}\)，且\(a,b,c\)互不相同，在所有这些方程表示的曲线中，不同的抛物线共有_______条．

3、沿图中的线段移动，且在移动的过程中不允许经过重复的点或线段，则从\(A\)点到\(B\)点共有_______种不同的移动方法．

4、已知函数\(f(x)=3x+a\)和\(g(x)=3x+2a\)的零点都在区间\((b,c)\)内，则\[\dfrac{a^2+2ab+2ac+4bc}{b^2-2bc+c^2}\]的最小值为_______．

5、抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若弦过焦点，那么其所对的顶点在准线上．那么此时的阿基米德三角形面积的最小值为_______．（设抛物线的焦点与准线的距离为\(p\)）

6、在平面直角坐标系\(xOy\)中，如果菱形\(OABC\)的边长为\(2\)，点\(B\)在\(y\)轴上，则菱形内（不包括边界）的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是_______．

7、若函数\(f(x)\)满足：集合\(A=\left\{f(n)\left|n\in\mathcal N^*\right.\right\}\)中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数\(f(x)\)是等比源函数．

（1）判断下列函数：

① \(y=x^2\)；

② \(y=\dfrac 1x\)；

③ \(y={\log_2}x\)

中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（2）判断函数\(f(x)=2^x+1\)是否为等比源函数，并证明你的结论；

（3）证明：对于任意的\(d,b\in\mathcal N^*\)，函数\(g(x)=dx+b\)都是等比源函数．

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