每日一题[71] 常数变易

已知\(x^2+y^2=25\),则\[\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\]的最大值为_______.


cover正确答案是\(6\sqrt {10}\).

将\(25=x^2+y^2\)代入,有\[\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}=\sqrt{(x-3)^2+(y+4)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y+4)^2}.\]

于是问题转化为圆\(x^2+y^2=25\)上一点到点\((3,-4)\)和\((-3,-4)\)的距离之和的最大值,不难求出当\(x=0\land y=5\)时取得最大值为 \(6\sqrt {10}\).

下面给出一道练习题.

解方程:\(x^4-x^2+8x-16=0.\)

提示    将方程看作\[4^2-2x\cdot 4+\left(-x^4+x^2\right)=0.\]

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