2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #14
锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，满足 $a^2=b(b+c)$，$a+b=3$，则 $\triangle ABC$ 的周长的取值范围为_____．
答案 $\left(3\sqrt 2,3\sqrt 3\right)$．
解析 根据题意，有\[a^2=b(b+c)\iff \sin^2A-\sin^2B=\sin B\sin C\iff \sin(A+B)\sin(A-B)=\sin B\sin C,\]于是\[\sin (A-B)=\sin B\iff A=2B,\]于是 $(A,B,C)=(2B,B,\pi-3B)$，其中 $B\in\left(\frac{\pi}4,\frac{\pi}6\right)$，而 $\triangle ABC$ 的周长\[a+b+c=\dfrac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin A+\sin B}\cdot 3=3\left(1+\dfrac{\sin (3B)}{\sin B+\sin 2B}\right)=3\left(1+\dfrac{3\sin B-4\sin^3B}{\sin B+2\sin B\cos B}\right)=6\cos B,\]于是所求取值范围是 $\left(3\sqrt 2,3\sqrt 3\right)$．