练习题[16] 创新能力培养基础练习

 1、已知函数\(f(x)=\begin{cases}\ln x,&x\geqslant 1,\\\dfrac{1}{\mathrm e}(x+2)(x-a),&x<1\end{cases}\)的图象（其中\(a\)为常数，\(\rm e\)为自然对数的底数）在\(A({\rm e},1)\)处的切线与该函数的图象恰好有三个交点，则实数\(a\)的取值范围是_______．

2、已知函数\(f(x)=x^2+{\rm e}^x-\dfrac 12\)，\(x<0\)与\(g(x)=x^2+\ln{(x+a)}\)的图象存在关于\(y\)轴对称的两点，则\(a\)的取值范围是_______．

3、某马拉松运动员用了\(2.2\)h跑完比赛的\(42.195\)km全程（到终点停止），则对giant运动员在整个赛程中用\(19\)km/h速度跑的时刻个数判断一定正确的是（       ）

A．至多1个

B．至少2个

C．至多3个

D．无数个

4、在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知向量\(\overrightarrow a\)和\(\overrightarrow b\)满足：\(\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=1\)，\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=0\)，点\(Q\)满足\(\overrightarrow{OQ}=\sqrt 2\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\)，曲线\(C:\left\{P\left|\overrightarrow{OP}=\overrightarrow a\cos\theta+\overrightarrow b\sin\theta,0\leqslant\theta <2\pi\right.\right\}\)，区域\(\Omega=\left\{P\left|0<r\leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right|\leqslant R,r<R\right.\right\}\)．若\(C\cap\Omega\)为两段分离的曲线，则（       ）

A．\(1<r<R<3\)

B．\(1<r<3\leqslant R\)

C．\(r\leqslant 1<R<3\)

D．\(1<r<3<R\)

5、已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(M\)为线段\(D_1B_1\)上的点，点\(N\)为线段\(AC\)上的点，记\(MN\)与平面\(ABB_1A_1\)所成角为\(\theta\)，那么当\(MN\)与线段\(DB_1\)相交时，\(\tan\theta\)的最大值是_______．

6、已知\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆\(C_1:\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1\)（\(a>b>0\)）的上下焦点，\(F_1\)是抛物线\(C_2:x^2=4y\)的焦点，点\(M\)是\(C_1\)与\(C_2\)在第二象限的交点，且\(MF_1=\dfrac{5}{3}\)．

（1）试求椭圆\(C_1\)的方程；

（2）与圆\(x^2+(y+1)^2=1\)相切的直线\(l:y=k(x+t)\)）交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，若椭圆上一点\(P\)满足\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\lambda\overrightarrow{OP}\)，求实数\(\lambda\)的取值范围．

7、若集合\(A\)具有以下性质：

① \(o\in A\)，\(1\in A\)；

② 若\(x,y\in A\)，则\(x-y\in A\)；

③ 若\(x\neq 0\)，\(x\in A\)，则\(\dfrac 1x\in A\)．

则称集合\(A\)为“好集”．

（1）若集合\(A\)为“好集”，求证：若\(x,y\in A\)，则\(x+y\in A\)；

（2）若集合\(A\)为“好集”，求证：若\(x,y\in A\)，则\(xy\in A\)．

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参考答案

1、\(\left(-\infty,-3-2\sqrt 2\right)\cup\left(2\sqrt 2-3,\dfrac 23\right)\)．

2、\(\left(-\infty,{\rm e}^{\frac 12}\right)\)．

3、B      提示：注意利用\(v-t\)图象的连续性．

4、A      提示：注意利用数形结合解决，这是2014年安徽卷理科数学试题．

5、\(1\)      提示：注意当$M\neq B_1$时，\(N\)只可能为底面\(ABCD\)的中心；当$M=B_1$时，$N$可以取遍$AC$．

6、（1）\(C_1:\dfrac{x^2}3+\dfrac{y^2}4=1\)；（2）\(-2\leqslant\lambda\leqslant 2\land \lambda\neq\pm\dfrac{2}{\sqrt 3}\)．

7、提示：（1）的证明路径为\(x\to -x\to y-(-x)\)；（2）的证明路径为\(x\to\dfrac 1x\to \dfrac 2x\to\dfrac x2\)，\(x\to x,x-1\to \dfrac 1x,\dfrac 1{x-1}\to \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}\to x^2-x\to x^2\)，\(x,y\to \dfrac{(x+y)^2-x^2-y^2}{2}\)．