每日一题[72] 数形结合解不等式(方程)

解不等式:\(\sqrt{x^2+4x+8}+\sqrt{x^2-4x+8}\leqslant 6\).


cover原不等式即\[\sqrt{(x+2)^2+(2-0)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(2-0)^2}\leqslant 6.\]

联想椭圆的定义,构造以\((-2,0)\),\((2,0)\)为焦点,\(6\)为长轴长的椭圆\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\).

QQ20150315-4

于是所求\(x\)的范围即直线\(y=2\)被椭圆截得的弦横坐标的取值范围,即\(\left[-\dfrac 3{\sqrt 5},\dfrac{3}{\sqrt 5}\right]\).

下列给出一道练习题.

解方程:\(\left|3x-4\right|-\left|3x-8\right|=2\).

提示    令\(3x-6=t\),则方程变为\[|t+2|-|t-2|=2,\]于是\(t\)可以看作是双曲线\(x^2-\dfrac{y^2}3=1\)被\(x\)轴所截的交点的横坐标.

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