2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #15
已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 5 2-\dfrac 1{a_n}$（$n=1,2,3,\cdots$）．下列四个结论中所有正确结论的序号是_____．
① 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有无穷多个元素；
② 存在 $a_1$，使得集合 $\left\{n\mid a_n<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中有有限个元素；
③ 对于任意的 $a_1$，集合 $\left\{n\mid a_n<0,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 中至多有一个元素；
④ 当 $a_1=1$ 时，集合 $\left\{n\mid a_n<a_{n+1}<2,n\in\mathbb N^{\ast}\right\}=\mathbb N^{\ast}$．
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #10
如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$E$ 为棱 $AA_1$ 的中点，$P$ 为正方体表面上的动点，且 $\overrightarrow{D_1 P}\perp\overrightarrow{CE}$．设动点 $P$ 的轨迹为曲线 $W$，则（ ）
A．$W$ 是平行四边形，且周长为 $2\sqrt 2+2\sqrt 5$
B．$W$ 是平行四边形，且周长为 $3\sqrt 2+2\sqrt 5$
C．$W$ 是等腰梯形，且周长为 $2\sqrt 2+2\sqrt 5$
D．$W$ 是等腰梯形，且周长为 $3\sqrt 2+2\sqrt 5$
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #19
已知集合 $S=\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}$（$n\geqslant 3$），集合 $T\subseteq\{(x,y)\mid x\in S,y\in S,x\neq y\}$，且满足对任意 $a_i,a_j\in S$（$1\leqslant i,j\leqslant n$，$i,j\in\mathbb N^{\ast}$，$i\ne j$），$(a_i,a_j)$ 和 $(a_j,a_i)$ 中恰有一个在 $T$ 中．对于 $T$ 定义： \[d_T(a,b)=\begin{cases}1,&(a,b)\in T\\0,&(b,a)\in T,\end{cases}\quad l_T\left(a_l\right)=\displaystyle\sum_{m=1}^{l-1}d_T\left(a_l,a_m\right)+\sum_{m=l+1}^n d_T\left(a_l,a_m\right) .\]
1、若 $n=4$，$\left(a_1,a_2\right),\left(a_3,a_2\right),\left(a_2,a_4\right)\in T$，求 $l_T\left(a_2\right)$ 的值及 $l_T\left(a_4\right)$ 的最大值；
2、从 $l_T\left(a_1\right),l_T\left(a_2\right),\cdots,l_T\left(a_n\right)$ 中任意删去两个数，记剩下的 $(n-2)$ 个数的和为 $M$，证明：$M\geqslant\dfrac 1 2 n(n-5)+3 $；
3、求证：对于满足 $l_T\left(a_l\right)<n-1$（$l=1,2,3,\cdots,n$）的每一个集合 $T$，集合 $S$ 中都存在三个不同的元素 $e,f,g$，使得 $d_T(e,f)+d_T(f,g)+d_T(g,e)=3$．
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #18
已知 $m>1$，函数 $f(x)=2 m\ln x-x+\dfrac 1 x$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；
2、若函数 $g(x)=m^2\ln^2 x-x-\dfrac 1 x+2$ 有三个不同的零点，求 $m$ 的取值范围．
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #14
质点每次都在四边形 $ABCD$ 的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在 $A$ 点，则经过 $2$ 次移动到达 $C$ 点的概率为_____，经过 $n$ 次移动到达 $C$ 点的概率为_____．
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #11
过点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n: x^2-2 n x+y^2=0$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）引斜率为 $k_n$（$k_n>0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n\left(x_n,y_n\right)$，则下列结论正确的是（ ）
A．$\displaystyle\sum_{i=1}^{2025}\ln x_i=-\ln 2026$
B．数列 $\left\{y_n\right\}$ 的通项为 $y_n=\dfrac{2 n\sqrt{n+1}}{n+1}$
C．当 $n>3$ 时 $,x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdots x_{2 n-1}<\dfrac{x_n}{y_n}$
D．$\dfrac{x_n}{y_n}<\sqrt 2\sin\sqrt{\dfrac{1-x_n}{1+x_n}}$
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #10
如图，以 $A_1,B_1,C_1,A,B,C$ 为顶点的六面体中，四边形 $AA_1 C_1 C$ 为菱形，$B_1 C_1 \parallel BC$，$B_1 C_1=\dfrac 1 2 BC$，$\angle C_1 CA=60^{\circ}$，$AC=2$，$AB=2$，$\angle BAC=120^{\circ}$，则[[nn]]
A．$AC\perp A_1 B$
B．$AC_1 \parallel ~\text{平面}~A_1 BB_1$
C．当 $A_1 B=\sqrt 6$ 时，二面角 $A_1-AB-C$ 的正弦值为 $\dfrac{\sqrt 5}5$
D．当 $A_1 B=\sqrt 3$ 时，此六面体的体积为 $\dfrac{5\sqrt 3}4$
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #8
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_1=2$，$n a_n=S_n+S_{n-1}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$），数列 $\left\{2^n S_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则下列不等式正确的是（ ）
A．$T_{20}<2^{30}$
B．$T_{20}>2^{35}$
C．$T_{30}<2^{40}$
D．$T_{30}>2^{45}$
2025年2月湖北省武汉市高三调研数学考试 #7
已知函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 1 2 x-a$（$a\in\mathbb R$），若存在 $m\in\left[1,\mathrm e^2\right]$（$\mathrm e$ 为自然对数的底数），使得 $f(f(m))=m$，则实数 $a$ 的取值范围是[[nn]]
A．$\left[2-\dfrac 1 2 \mathrm e^2,-1+\ln 2\right]$
B．$\left[1-\dfrac{\mathrm e} 2,-1+\ln 2\right]$
C．$\left[-\dfrac 1 2,1-\dfrac{\mathrm e}2\right]$
D．$\left[-\dfrac 1 2,0\right]$
2025年1月广东省佛山市高三数学质检试卷 #19
将 $2 N$ 项数列 $\left(a_1,a_2\cdots,a_N,b_1,b_2,\cdots,b_N\right)$ 重新排序为 $\left(b_1,a_1,b_2,a_2,\cdots,b_N,a_N\right)$ 的操作称为一次洗牌，即排序后的新数列以 $b_1$ 为首项，将 $a_i$ 排在 $b_i$ 之后，将 $b_{i+1}$ 排在 $a_i$ 之后．对于数列 $(1,2,\cdots,2 N)$，将洗牌后得到的新数列中数字 $k$ 的位置定义为 $f(k)$．例如，当 $N=3$ 时，数列 $(1,2,3,4,5,6)$ 经过一次＂洗牌＂后变为 $(4,1,5,2,6,3)$，此时 $f(1)=2$，$f(2)=4$，$f(3)=6$，$f(4)=1$，$f(5)=3$，$f(6)=5$．
1、写出数列 $(1,2,3,4,5,6,7,8)$ 经过 $3$ 次洗牌后得到的新数列；
2、对于满足 $1\leqslant k\leqslant 2 N$ 的任意整数 $k$，求经过一次洗牌后 $f(k)$ 的解析式；
3、当 $N=2^{n-1}$（其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$）时，数列 $(1,2,\cdots,2 N)$ 经过若干次洗牌后能否还原为 $(1,2,\cdots,2 N)$？如果能，请说明至少需要多少次洗牌；如果不能，请说明理由．
